【问题描述】
小A 和小B 在做游戏。
他们找到了一个n 行m 列呈网格状的画板。小A 拿出了p 支不同颜色的画笔,开始在上面涂色。看到小A 涂好的画板,小B 觉得颜色太单调了,于是把画板擦干净,希望涂上使它看起来不单调的颜色(当然,每个格子里只能涂一种颜色)。小B 想知道一共有多少种不单调的涂色方案。我们定义一个涂色方案是不单调的,当且仅当任意相邻两列都出现了至少q 种颜色。
题解:
都能看出来这是道矩乘题。但是比较变态。
先不考虑矩阵,状态是f[ i ][ j ],指前i列已经填好,第i列共有j种不同颜色的方案数。
这里需要一个另外的g,用来算将j种颜色填入n个格子的方案数。
先来看一下g:(我用的是容斥)
for(int i=1;i<=100;i++) { g[i]=fast(i,n);//(快速幂) for(int j=1;j<i;j++) { g[i] = ((g[i] - g[j]*C[i][j]%MOD)%MOD+MOD)%MOD; } }
什么意思?
首先什么都不考虑,n个格子都有i种选择,得到i^n。
但是有个问题,就是原来让他有j种颜色,但是最终不够j。因此还要减掉g[ k ]*C[ j ][ k ]。
这样g就求完了。
然后就是状态转移方程了。
设前一列有k种颜色,当前列有j种颜色。
我分了几种情况:
1.k+j<q。这样无法转移……
2.k>=q或j>=q,这样当前列可以随便选,式子比较简单粗暴:
3.其他情况。这里需要枚举j中与k重合的有多少种。
最后转矩阵乘法。时间复杂度O(n^3*log m)。
代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define MOD 998244353 #define ll long long ll C[205][205],g[105]; int n,m,p,q; ll fast(ll x,int y) { ll ret = 1ll; while(y) { if(y&1)ret=ret*x%MOD; x=x*x%MOD; y>>=1; } return ret; } struct mt { ll s[105][105]; }j0,j1; mt operator * (mt a,mt b) { mt ret; for(int i=1;i<=p;i++) { for(int j=1;j<=p;j++) { ret.s[i][j]=0; for(int k=1;k<=p;k++) { (ret.s[i][j]+=a.s[i][k]*b.s[k][j]%MOD)%=MOD; } } } return ret; } void init() { C[0][0]=1; for(int i=1;i<=200;i++) { C[i][0]=1; for(int j=1;j<=i;j++) { C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD; } } for(int i=1;i<=100;i++) { g[i]=fast(i,n); for(int j=1;j<i;j++) { g[i] = ((g[i] - g[j]*C[i][j]%MOD)%MOD+MOD)%MOD; } } for(int j=1;j<=p;j++) { for(int k=1;k<=p;k++) { if(j+k<q) { j0.s[j][k]=0; }else { if(k<q&&j<q) { for(int x=max(q,j)-k;x<=j&&x+k<=p;x++) { (j0.s[j][k]+=C[k][j-x]*C[p-k][x]%MOD*g[j]%MOD)%=MOD; } }else { j0.s[j][k]=C[p][j]*g[j]%MOD; } } } } for(int i=1;i<=p;i++)j1.s[i][1]=g[i]*C[p][i]%MOD; } mt fastt(mt x,int y) { mt ret; ret=x; y--; while(y) { if(y&1)ret=ret*x; x=x*x; y>>=1; } return ret; } int main() { freopen("color.in","r",stdin); freopen("color.out","w",stdout); scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q); init(); mt ans = fastt(j0,m-1); ans = ans*j1; ll as = 0; for(int i=1;i<=p;i++) as = (as+ans.s[i][1])%MOD; printf("%lld ",as); return 0; }