【数论】【NOIP2009】Hankson的趣味题

题目

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题目描述

Hanks博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：
已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x满足：
1． x和a0的最大公约数是a1；
2． x和b0的最小公倍数是b1。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的 x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入

第一行为一个正整数n，表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除，b1能被b0整除。

输出

输出共n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。 对于每组数据：若不存在这样的x，请输出0； 若存在这样的x，请输出满足条件的x的个数；

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

提示

说明

第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。 第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。

数据范围

对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。 对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

来源

noip2009第2题

思路

反正我一来就发现了时间限制3秒【狂喜】。
于是我想枚举，直接暴力，结果是什么？

大写的尴尬，完美滴TLE……这种暴力产生美代码
人家好歹也是NOIP的第二题，怎么能直接暴力呢。

注意，我只是说了不能直接暴力，我可没说不能暴力。

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上面说了这么多废话，现在进入正题。
我们只需要优化一下我们的枚举即可：
1.
∵gcd(x,a0)=a1
由最大公因数的定义：
设d1=x/a1,d2=a0/a1，则：
d1与d2不可能再有除1之外的公因数（否则a1就不是最大的了，它还能在乘d1和d2的公因数）
∴gcd(d1,d2)=1
即gcd(x/a1,a0/a1)=1
2.
∵lcm(x,b0)=b1
由最小公倍数的定义：
设d1=b1/x,d2=b1/b0，则：
d1与d2也不可能再有除1之外的公因数（否则b0就不是最小的了，它还能在除以d1和d2的公因数）
∴gcd(d1,d2)=1
即gcd(x/a1,a0/a1)=1

加上以上两个优化即可。
另外，是不是一定要枚举到b1呢?不用，枚举到根号b1即可，设当前枚举到的数为i，先验证i是否合法，再验证b1/i是否合法就好了~

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>

int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}//求最大公因数
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int a0,a1,b0,b1;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int ans=0,m=(int)sqrt(b1+0.5);
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(b1%i==0)
            {
                if(i%a1==0&&gcd(i/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/i==1))//用刚才的两个式子判断i是否合法
                  ans++;
                j=b1/i;//判断b1/i是否合法
                if(j%a1!=0||i==j)//如果i=j就重复了
                    continue;
                if(gcd(j/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/j)==1)
                  ans++;
            }
        printf("%d
",ans);
    }
}

另外的方法

当然，除了枚举，还可以通过分解a0,a1,b0,b1的质因数得到答案，要快得多，详见此片博客：http://www.cnblogs.com/candy99/p/6011670.html