次小生成树

含义：也就是除了最小生成树之外再选一个最小的生成树，可以用最小生成树的一些边，但是不能完全相同

思路： 最容易想到的是先求出最小生成树，然后去枚举最小生成树中的边，把它标记，然后再去建最小生成树，然后取最小就能得到次小生成树，但是这样的复杂度是O(n^3)的

所以我们不推荐使用，

我们还有一种更巧妙的方法，复杂度是O(n^2+m),

思想就是我们先用个dp数组求出最小生成树中每两点间的路中的最长那条边的权值，然后我们依次去枚举所有没有被最小生成树用到的边，把这两点间的最长删了再加上新加入的那条边，然后最后算出来的最小值就是次小生成树的值

这里给出克鲁斯卡尔的次小生成树  POJ 1679（判断最小生成树是否唯一）

下面标记位置了的代码下面会一 一解释

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack> 
#define mod 1000000007
#define eps 1e-6
using namespace std;
typedef long long ll;
struct sss
{
    int x,y,z,vis;
}a[10001];
int n,m;
vector<int> mp[101];
int pre[101];
int mx[101][101];
int find(int x)
{
    if(x==pre[x]) return x;
    else return pre[x]=find(pre[x]);
}
int cmp(struct sss x,struct sss y)
{
    return x.z<y.z;
}
void krlus()
{
    sort(a+1,a+m+1,cmp); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        pre[i]=i;
        mp[i].clear();
        mp[i].push_back(i);//    标记行
    }
    long long sum=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int xx=find(a[i].x);
        int yy=find(a[i].y);
        if(xx!=yy)
        {
            int len1=mp[xx].size();
            int len2=mp[yy].size();
            for(int j=0;j<len1;j++){      //   标记行
                for(int k=0;k<len2;k++)
                    mx[mp[xx][j]][mp[yy][k]]=mx[mp[yy][k]][mp[xx][j]]=a[i].z;
            }
            sum+=a[i].z;
            a[i].vis=1;
            pre[xx]=yy;
            for(int j=0;j<len1;j++){     //标记行
                mp[yy].push_back(mp[xx][j]);
            }
        }
    }
    long long csum=99999999;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(!a[i].vis)     
        csum=min(csum,sum+a[i].z-mx[a[i].x][a[i].y]); //标记行
    }
    //cout<<sum<<" "<<csum<<endl;
    if(csum==sum) printf("Not Unique!
");
    else printf("%lld
",sum);
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;
            a[i].vis=0;
        }
        krlus();
    } 
} 

首先克鲁斯卡尔的权值是依次递增的，所以也创建了一些方便的条件

for(int j=0;j<len1;j++){   
     for(int k=0;k<len2;k++)
             mx[mp[xx][j]][mp[yy][k]]=mx[mp[yy][k]][mp[xx][j]]=a[i].z;
      }

红色边是新加的那条边，我们每加入一条边的时候，我们就要对新加的那条边的两个端点各自的联通块里进行更新
左联通快的每个点都要与右联通快的每个点更新到，更新的最大值就是新加的那条边的权值，因为克鲁斯卡尔权值是按从小到大来的，
所以我们不需要判断，
因为最开始每个联通块就是自己

mp[i].push_back(i);
所以开始要加入本身

    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(!a[i].vis)     
        csum=min(csum,sum+a[i].z-mx[a[i].x][a[i].y]); 
    }

这个其实也就是合并联通快，因为克鲁斯卡尔本身也是基于并查集的

csum=min(csum,sum+a[i].z-mx[a[i].x][a[i].y])
这个也就是我们枚举每一条边去看权值是否能更小