8是中国的幸运数字,如果一个数字的每一位都由8构成则该数字被称作是幸运数字。
现在给定一个正整数L,请问至少多少个8连在一起组成的正整数(即最小幸运数字)是L的倍数。
输入格式
输入包含多组测试用例。
每组测试用例占一行,包含一个整数L。
当输入用例L=0时,表示输入终止,该用例无需处理。
输出格式
每组测试用例输出结果占一行。
结果为“Case 1: ”+一个整数N,N代表满足条件的最小幸运数字的位数。
如果满足条件的幸运数字不存在,则N=0。
数据范围
1≤L≤2∗1091≤L≤2∗109
输入样例:
8
11
16
0
输出样例:
Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0
题意:找到满足最小的满足要求的长度8,要求能被L整除
思路:首先我们可以化简式子
8*(10^x-1)/9 | L -> 8*(10^x-1)| 9*L -> (10^x-1) | 9*L/gcd(L,8) -> 10^x = 1 mod 9*L/gcd(L,80)
化简到这种式子后我们一般有两个定理可以运用
费马小定理
如果a,p互质 a^p = a mod p
欧拉定理
如果 a,p 互质 a^phi(p) = 1 mod p;
phip) 不一定 是最优的答案,有可能是他的因子,所以我们还要枚举他的因子
#include<bits/stdc++.h> #define maxn 305 #define mod 1000000007 #define MAX 100000000000000000 using namespace std; typedef long long ll; ll quick_pow(ll a,ll b,ll c){ ll ans=1; while(b){ if(b&1) ans=(ans*a)%c; b=b/2; a=(a*a)%c; } return ans; } ll phi(ll x){ ll sum=x; for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){ if(x%i!=0) continue; sum=sum/i*(i-1); while(x%i==0) x/=i; } if(x>1) sum=sum/x*(x-1); return sum; } int main(){ ll n; ll num=1; while(cin>>n){ if(n==0) break; ll z=n/__gcd(n,(ll)8)*9; ll x=phi(z); ll ans=MAX; for(int j=1;j*j<=x;j++){ if(x%j!=0) continue; if(quick_pow(10,j,z)==1) ans=min(ans,(ll)j); if(quick_pow(10,x/j,z)==1) ans=min(ans,(ll)x/j); } if(ans==MAX) ans=0; cout<<"Case "<<num++<<": "<</*ans==MAX?(ll)0:*/ans<<endl; } }