随机事件及其概率

随机事件

随机事件的概念

随机试验E

• 试验可以在相同的条件下重复进行（重复性）；
• 试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知（多样性）；
• 在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现（随机性）。

样本空间S

• 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间

随机事件

• 随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件

随机事件的关系

• 包含关系：B⊂A（B发生必导致A发生）
• 相等关系：B⊂A且A⊂B，则A=B
• 事件的和：A∪B（事件A发生或B发生，即A和B中至少有一发生）
• 事件的积：A∩B=AB（事件A发生且事件B发生）
• 事件的差：A-B（事件A发生且事件B不发生）
• 互不相容（互斥关系）：A∩B=Ø（事件A和事件B不可能同时发生）
• 互逆关系（对立关系）：若A∪B=S且A∩B=Ø，记为A=或B=

运算规律

• 交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A；
• 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
• 分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
• 对偶律：
• P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)（如果A、B互斥，则P(AB)=0）
• P(A-B)=P(A)-P(AB)（若B⊂A，则P(AB)=P(B)）
• P(A)=1-P()；P(A)=P(A)+P(AB)

古典概率模型

1. 试验的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；
2. 在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同。
3. 古典概率P(A) = A中的基本事件 / S中包含的基本事件

排列A_n^m：从n个人中，有顺序地抽出m个人的抽法数；A_n^m=n(n-1)...(n-m+1)

组合C_n^m：从n个人中，不计顺序地抽出m个人的抽法数；C_n^m=n!/m!(n-m)!

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率

• 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率：P(B|A)=P(AB)/P(A)；P(B|A)=1-P(|A)
• 乘法公式：若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)
• 假如事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)

全概率公式

• 全概率就是表示达到某个目的，有多种方式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到目的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）？
• P(A)=P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+...+P(B_n)P(A|B_n)

贝叶斯公式

• 当已知结果，问导致这个结果的第i原因的可能性是多少？执果索因！

事件独立性和贝努利试验

事件独立性

• 事件B的发生与否，并没有影响到事件A发生的概率
• P(A|B)=P(A)，即P(AB)=P(A)P(B)

贝努利试验

• 在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重贝努利试验。

（P(A)=p，事件A恰好发生k次的概率）

事件的独立和事件互斥两个概念的区别

1.互不相容考虑的是事件能否同时发生。A和B互斥：A发生B就不可能发生，B发生A就不可能发生，也就是说A和B不能同时发生。

2.事件的独立性考虑的是两个事件的关联性，一个事件的发生能否影响另一个事件。A和B独立：A发生和B发生没有关系，A发生不会影响B发生，但A和B也可能同时发生。