基于RSA的实用门限签名算法

摘自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/135258941

 

1 门限签名

门限签名是普通数字签名的一个重要分支，是门限秘密共享技术和数字签名的一种结合。1991年，Desmedt-Frankel首次提出了 门限签名方案。 门限签名方案是指由  个成员组成一个签名群体，该群体有一对公钥和私钥，群体内大于等于  个合法、诚实的成员组合可以代表群体用群私钥进行签名，任何人可利用该群体的公钥进行签名验证。这里  是门限值，只有大于等于  个合法成员才能代表群体进行签名，群体中任何个或更少的成员不能代表该群体进行签名，同时任何成员不能假冒其他成员进行签名。采用门限签名方式可以实现权力分配，避免滥用职权。

2 基于RSA的门限签名

本算法[1]由IBM实验室提出，算法有以下特点：

1. it is unforgeable and robust in the random oracle model, assuming the RSA problem is hard;
2. signature share generation and verification is completely non-inter-active;
3. the size of an individual signature share is bounded by a constant times the size of the RSA modulus.

算法流程：

 

2.1 RSA算法

2.1.1 RSA加解密

首先，RSA算法的安全性是建立在大整数因子分解的困难性之上的。

• 秘钥生成：选择两个互异的大素数和，二者保密。计算，公开。，保密，选择一个公开的随机数，满足，计算，保密。此时，公钥为，私钥为。
• 加密：加密结果，已知条件，公钥。
• 解密：解密结果，已知条件，私钥。

2.1.2 RSA签名验签

选取整数，消息空间与签名空间均为整数空间，即，定义秘钥集合。

对，Bob要对签名，取，，于是验证等式是否成立。

2.2 系统初始化

系统中有个参与者，编号分别为，有一个可信的dealer和一个敌手adversary。dealer选择两个长度（512bit）相等的素数和，设，其中也都是素数。RSA模，令，并选择公共一个素数指数。

此时，RSA公钥为。

2.3 密钥分享

接下来，dealer选择，满足，即就是要分享的秘密值。设置，dealer随机的选择为门限值。即构成的关于次多项式为。

对于，计算分享的密钥值。就是对于参与者的私钥。

接下来，计算 verification keys，用于验证签名的是否有效。dealer选择一个随机值，并计算，令。

接下来，计算拉格朗日系数。令，对于集合大小为的子集，其中元素均属于，对于任何，定义:

这些值是标准拉格朗日插值公式系数。从拉格朗日插值公式可得：

2.4 生成门限签名份额

下面，计算一个关于消息的一个签名份额：令，对于参与者计算，是一个参与者的签名份额。

每个签名份额对于有一个正确性的证明，这个正确性证明仅对于基的离散对数与对于基的离散对数相似。

下面，计算内阁签名份额的正确性证明以及如何验证这个签名份额：是的比特长度，是一个hash函数，函数输出一个bit的整数，此处是第二个安全参数。为了生成正确性证明，参与者选择随机数，计算：

此时，正确性证明就变成。为了验证这个证明，只需要检查下面等式是否成立：

此处，计算的是，而不是，原作者是这样解释的：Although  is supposed to be a square, this is not easily verified. This way, we are sure to be working in , where we need to be working to ensure soundness.

2.5 组合签名份额

在组合所有签名份额之前，先要验证每一个签名份额，并且要满足有效的签名份额个数不能小于门限。

假设此处有一组有效的签名份额集合，。令，且假设。然后组合签名份额，计算：

此处的就是2.3节中的。根据，可得，此处。

因为，通过算法：，即为组合后的签名结果。此处和均为整数，且满足，可以从和上的扩展欧几里德算法得到，这样就很容易计算出满足和。

2.6 签名验证

验证签名与RSA签名验证逻辑一样：计算，此处即为2.5节中组合后的签名结果。验证者，只需要验证是否成立。

3 参考资料

[1]http://www.iacr.org/archive/eurocrypt2000/1807/18070209-new.pdf

 

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