门限签名

摘自：https://blog.csdn.net/qq_38200023/article/details/88045113

摘自：https://blog.csdn.net/qq_38200023/article/details/88130579

门限签名（1）——秘密共享

 

门限签名（threshold signature区块链中叫多重签名 multisig），即n个用户中有t个签名时，签名有效。
秘密共享是门限签名的一种特殊情况，即多个用户共享一个秘密，并不是把秘密发给每个人，而是把秘密拆分开发给每个人（当然，也不能直接把信息拆开分发，存在语义上的安全问题），我总结的条件为：
（1）用户能够验证自己的秘密份额是正确的
（2）数量足够的用户能够重构秘密
对于条件（1），就是要让秘密份额满足某个等式，等式中包含公开信息和私人信息，对于条件（2），要求秘密份额包含秘密的信息，一种载体是拉格朗日插值，少于t个信息不能重构t-1次多项式，且都是普通运算，适合搬到有限域。
我们假设秘密为SSS，构造一个多项式
F(x)=S+∑t−1l=1xlFlF(x)=S+sum_{l=1}^{t-1}x^l F_lF(x)=S+∑l=1t−1​xlFl​
其中，FlF_lFl​是有限域中随机选取的元素。
将F(i)F(i)F(i)发送给第iii个用户，且有S=F(0)S=F(0)S=F(0)，注意，F(i)F(i)F(i)看上去是一个随机数。
重构时，F(x)=∑j∈ΦπΦxjSjF(x)=sum_{jin Phi} pi_{xj}^{Phi}S_jF(x)=∑j∈Φ​πxjΦ​Sj​
其中，πΦxj=Πm∈Φ,m≠jx−mj−mpi_{xj}^{Phi}=Pi_{min Phi, m eq j}frac{x-m}{j-m}πxjΦ​=Πm∈Φ,m̸​=j​j−mx−m​为拉格朗日插值的系数，小于t个已知值时，不能插值得到正确的SSS。

门限签名（2）——计算安全的可验证秘密共享

两种特性：①可验证，参与秘密共享方可以验证自己的秘密份额是否正确

②计算安全，不存在概率多项式复杂度算法破解，或者遵循某些数学困难假设。
因为秘密是共享的，某人的秘密份额是否正确需要和其它人的秘密份额作某些计算，实现可验证性需要所有人的信息，包裹在Hash函数中可以验证每个元素是否相等，但无法作计算，而包裹在双线性对中可以作加法、乘法计算。
用到的双线性对性质：
①e(a,P)e(b,P)=e(a+b,P)e(a,P)e(b,P)=e(a+b,P)e(a,P)e(b,P)=e(a+b,P)
②e(a,P)b=e(ab,P)=e(a,bP)e(a,P)^{b}=e(ab,P)=e(a,bP)e(a,P)b=e(ab,P)=e(a,bP)
③e(aP,bP)=e(abP,P)e(aP,bP)=e(abP,P)e(aP,bP)=e(abP,P)
流程：
1 随机选择F1,...,Ft−1F_1,...,F_{t-1}F1​,...,Ft−1​以构建多项式F(x)=S+xF1+...+xt−1Ft−1F(x)=S+xF_1+...+x^{t-1}F_{t-1}F(x)=S+xF1​+...+xt−1Ft−1​，Si=F(i)S_i=F(i)Si​=F(i)为秘密份额，分发给成员1,2,...,n1,2,...,n1,2,...,n
2 计算并公开α0=e(S,P)alpha_0=e(S,P)α0​=e(S,P)以及αj=e(Fj,P),j=1,2...,t−1alpha_j=e(F_j,P),j=1,2...,t-1αj​=e(Fj​,P),j=1,2...,t−1，这一步的用意就是你可以用FjF_jFj​来计算并验证某些信息，但是不能得到具体值，而Hash函数不能用来计算，所以双线性对确实是一种很强大的工具，需要注意的是，Hash函数基于随机预言机假设，双线性对基于GTI（对于Tate对）假设，很多文献认为后者仍需要经历考验。
3 验证秘密份额：e(Si,P)=Πt−1j=0αijje(S_i,P)=Pi_{j=0}^{t-1} alpha_j^{i^j}e(Si​,P)=Πj=0t−1​αjie(S+sum F_j cdot i^j,P)=e(S_i,P)j​证明：
e(S+∑Fj⋅ij,P)=e(Si,P)e(S+∑Fj​⋅ij,P)=e(Si​,P)这是该体制的特点，区别于一般秘密共享的地方：可验证性这个体制可以用来分享Hess签名中的私钥

计算安全：
wlog，假设1,...,t−11,...,t-11,...,t−1持有的信息泄露了，攻击者可以通过拉格朗日插值计算以下信息：
βi=e(Si,P),i=1,...,t−1eta_i=e(S_i,P),i=1,...,t-1βi​=e(Si​,P),i=1,...,t−1
βt=βπt00Πt−1j=1απtjjeta_t=eta_0^{pi_{t0}}Pi_{j=1}^{t-1}alpha_j^{pi_{tj}}βt​=β0πt0​​Πj=1t−1​αjπtj​​
注意，βetaβ只是计算的跳板，因为S0S_0S0​还是不知道的，直接插值少一个信息，而借助包裹了S0S_0S0​的双线性对，就可以插值成功。
那么攻击者成功有两条路径：
①由e(S0,P)e(S_0,P)e(S0​,P)计算S0S_0S0​
②由e(St,P)e(S_t,P)e(St​,P)计算StS_tSt​，再由S1,S2,...,StS_1,S_2,...,S_tS1​,S2​,...,St​插值得到S0S_0S0​
它们的本质都是一样的，即难度等同于逆向计算双线性对，所以是计算安全的。