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5、【树形结构】AVL树

一、AVL树的介绍

AVL树是高度平衡的而二叉树。

它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

二、AVL树的C++实现

1. 节点

1.1 AVL树节点

 1 template <class T>
 2 class AVLTreeNode{
 3     public:
 4         T key;                // 关键字(键值)
 5         int height;         // 高度
 6         AVLTreeNode *left;    // 左孩子
 7         AVLTreeNode *right;    // 右孩子
 8 
 9         AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):
10             key(value), height(0),left(l),right(r) {}
11 };

AVLTreeNode是AVL树的节点类，它包括的几个组成对象:
　　(1) key -- 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
　　(2) left -- 是左孩子。
　　(3) right -- 是右孩子。
　　(4) height -- 是高度。

1.2 AVL树

 1 template <class T>
 2 class AVLTree {
 3     private:
 4         AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点
 5 
 6     public:
 7         AVLTree();
 8         ~AVLTree();
 9 
10         // 获取树的高度
11         int height();
12         // 获取树的高度
13         int max(int a, int b);
14 
15         // 前序遍历"AVL树"
16         void preOrder();
17         // 中序遍历"AVL树"
18         void inOrder();
19         // 后序遍历"AVL树"
20         void postOrder();
21 
22         // (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
23         AVLTreeNode<T>* search(T key);
24         // (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
25         AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);
26 
27         // 查找最小结点：返回最小结点的键值。
28         T minimum();
29         // 查找最大结点：返回最大结点的键值。
30         T maximum();
31 
32         // 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中
33         void insert(T key);
34 
35         // 删除结点(key为节点键值)
36         void remove(T key);
37 
38         // 销毁AVL树
39         void destroy();
40 
41         // 打印AVL树
42         void print();
43     private:
44         // 获取树的高度
45         int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;
46 
47         // 前序遍历"AVL树"
48         void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
49         // 中序遍历"AVL树"
50         void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
51         // 后序遍历"AVL树"
52         void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
53 
54         // (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
55         AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
56         // (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
57         AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
58 
59         // 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
60         AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);
61         // 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
62         AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);
63 
64         // LL：左左对应的情况(左单旋转)。
65         AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);
66 
67         // RR：右右对应的情况(右单旋转)。
68         AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);
69 
70         // LR：左右对应的情况(左双旋转)。
71         AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);
72 
73         // RL：右左对应的情况(右双旋转)。
74         AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);
75 
76         // 将结点(z)插入到AVL树(tree)中
77         AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);
78 
79         // 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点
80         AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);
81 
82         // 销毁AVL树
83         void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);
84 
85         // 打印AVL树
86         void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
87 };

AVLTree是AVL树对应的类。它包含AVL树的根节点mRoot和AVL树的基本操作接口。需要说明的是：AVLTree中重载了许多函数。重载的目的是区分内部接口和外部接口，例如insert()函数而言，insert(tree, key)是内部接口，而insert(key)是外部接口。

1.2 树的高度

 1 /*
 2  * 获取树的高度
 3  */
 4 template <class T>
 5 int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) 
 6 {
 7     if (tree != NULL)
 8         return tree->height;
 9 
10     return 0;
11 }
12 
13 template <class T>
14 int AVLTree<T>::height() 
15 {
16     return height(mRoot);
17 }

1.3 比较大小

/*
 * 比较两个值的大小
 */
template <class T>
int AVLTree<T>::max(int a, int b) 
{
    return a>b ? a : b;
}

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。具体的旋转原理和实现参见：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3577360.html

注意：关于AVL树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，

【完整示例】

AVLTree.h

  1 #ifndef _AVL_TREE_HPP_
  2 #define _AVL_TREE_HPP_
  3 
  4 #include <iomanip>
  5 #include <iostream>
  6 using namespace std;
  7 
  8 template <class T>
  9 class AVLTreeNode{
 10     public:
 11         T key;                // 关键字(键值)
 12         int height;         // 高度
 13         AVLTreeNode *left;    // 左孩子
 14         AVLTreeNode *right;    // 右孩子
 15 
 16         AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):
 17             key(value), height(0),left(l),right(r) {}
 18 };
 19 
 20 template <class T>
 21 class AVLTree {
 22     private:
 23         AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点
 24 
 25     public:
 26         AVLTree();
 27         ~AVLTree();
 28 
 29         // 获取树的高度
 30         int height();
 31         // 获取树的高度
 32         int max(int a, int b);
 33 
 34         // 前序遍历"AVL树"
 35         void preOrder();
 36         // 中序遍历"AVL树"
 37         void inOrder();
 38         // 后序遍历"AVL树"
 39         void postOrder();
 40 
 41         // (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
 42         AVLTreeNode<T>* search(T key);
 43         // (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
 44         AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);
 45 
 46         // 查找最小结点：返回最小结点的键值。
 47         T minimum();
 48         // 查找最大结点：返回最大结点的键值。
 49         T maximum();
 50 
 51         // 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中
 52         void insert(T key);
 53 
 54         // 删除结点(key为节点键值)
 55         void remove(T key);
 56 
 57         // 销毁AVL树
 58         void destroy();
 59 
 60         // 打印AVL树
 61         void print();
 62     private:
 63         // 获取树的高度
 64         int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;
 65 
 66         // 前序遍历"AVL树"
 67         void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
 68         // 中序遍历"AVL树"
 69         void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
 70         // 后序遍历"AVL树"
 71         void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
 72 
 73         // (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
 74         AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
 75         // (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
 76         AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
 77 
 78         // 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
 79         AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);
 80         // 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
 81         AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);
 82 
 83         // LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 84         AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);
 85 
 86         // RR：右右对应的情况(右单旋转)。
 87         AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);
 88 
 89         // LR：左右对应的情况(左双旋转)。
 90         AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);
 91 
 92         // RL：右左对应的情况(右双旋转)。
 93         AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);
 94 
 95         // 将结点(z)插入到AVL树(tree)中
 96         AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);
 97 
 98         // 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点
 99         AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);
100 
101         // 销毁AVL树
102         void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);
103 
104         // 打印AVL树
105         void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
106 };
107 
108 /*
109  * 构造函数
110  */
111 template <class T>
112 AVLTree<T>::AVLTree():mRoot(NULL)
113 {
114 }
115 
116 /*
117  * 析构函数
118  */
119 template <class T>
120 AVLTree<T>::~AVLTree()
121 {
122     destroy(mRoot);
123 }
124 
125 /*
126  * 获取树的高度
127  */
128 template <class T>
129 int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree)
130 {
131     if (tree != NULL)
132         return tree->height;
133 
134     return 0;
135 }
136 
137 template <class T>
138 int AVLTree<T>::height()
139 {
140     return height(mRoot);
141 }
142 /*
143  * 比较两个值的大小
144  */
145 template <class T>
146 int AVLTree<T>::max(int a, int b)
147 {
148     return a>b ? a : b;
149 }
150 
151 /*
152  * 前序遍历"AVL树"
153  */
154 template <class T>
155 void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
156 {
157     if(tree != NULL)
158     {
159         cout<< tree->key << " " ;
160         preOrder(tree->left);
161         preOrder(tree->right);
162     }
163 }
164 
165 template <class T>
166 void AVLTree<T>::preOrder()
167 {
168     preOrder(mRoot);
169 }
170 
171 /*
172  * 中序遍历"AVL树"
173  */
174 template <class T>
175 void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
176 {
177     if(tree != NULL)
178     {
179         inOrder(tree->left);
180         cout<< tree->key << " " ;
181         inOrder(tree->right);
182     }
183 }
184 
185 template <class T>
186 void AVLTree<T>::inOrder()
187 {
188     inOrder(mRoot);
189 }
190 
191 /*
192  * 后序遍历"AVL树"
193  */
194 template <class T>
195 void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
196 {
197     if(tree != NULL)
198     {
199         postOrder(tree->left);
200         postOrder(tree->right);
201         cout<< tree->key << " " ;
202     }
203 }
204 
205 template <class T>
206 void AVLTree<T>::postOrder()
207 {
208     postOrder(mRoot);
209 }
210 
211 /*
212  * (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
213  */
214 template <class T>
215 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
216 {
217     if (x==NULL || x->key==key)
218         return x;
219 
220     if (key < x->key)
221         return search(x->left, key);
222     else
223         return search(x->right, key);
224 }
225 
226 template <class T>
227 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(T key)
228 {
229     return search(mRoot, key);
230 }
231 
232 /*
233  * (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
234  */
235 template <class T>
236 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
237 {
238     while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
239     {
240         if (key < x->key)
241             x = x->left;
242         else
243             x = x->right;
244     }
245 
246     return x;
247 }
248 
249 template <class T>
250 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(T key)
251 {
252     return iterativeSearch(mRoot, key);
253 }
254 
255 /*
256  * 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
257  */
258 template <class T>
259 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* tree)
260 {
261     if (tree == NULL)
262         return NULL;
263 
264     while(tree->left != NULL)
265         tree = tree->left;
266     return tree;
267 }
268 
269 template <class T>
270 T AVLTree<T>::minimum()
271 {
272     AVLTreeNode<T> *p = minimum(mRoot);
273     if (p != NULL)
274         return p->key;
275 
276     return (T)NULL;
277 }
278 
279 /*
280  * 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
281  */
282 template <class T>
283 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* tree)
284 {
285     if (tree == NULL)
286         return NULL;
287 
288     while(tree->right != NULL)
289         tree = tree->right;
290     return tree;
291 }
292 
293 template <class T>
294 T AVLTree<T>::maximum()
295 {
296     AVLTreeNode<T> *p = maximum(mRoot);
297     if (p != NULL)
298         return p->key;
299 
300     return (T)NULL;
301 }
302 
303 /*
304  * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
305  *
306  * 返回值：旋转后的根节点
307  */
308 template <class T>
309 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
310 {
311     AVLTreeNode<T>* k1;
312 
313     k1 = k2->left;
314     k2->left = k1->right;
315     k1->right = k2;
316 
317     k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;
318     k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;
319 
320     return k1;
321 }
322 
323 /*
324  * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
325  *
326  * 返回值：旋转后的根节点
327  */
328 template <class T>
329 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
330 {
331     AVLTreeNode<T>* k2;
332 
333     k2 = k1->right;
334     k1->right = k2->left;
335     k2->left = k1;
336 
337     k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;
338     k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;
339 
340     return k2;
341 }
342 
343 /*
344  * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
345  *
346  * 返回值：旋转后的根节点
347  */
348 template <class T>
349 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
350 {
351     k3->left = rightRightRotation(k3->left);
352 
353     return leftLeftRotation(k3);
354 }
355 
356 /*
357  * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
358  *
359  * 返回值：旋转后的根节点
360  */
361 template <class T>
362 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
363 {
364     k1->right = leftLeftRotation(k1->right);
365 
366     return rightRightRotation(k1);
367 }
368 
369 /*
370  * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
371  *
372  * 参数说明：
373  *     tree AVL树的根结点
374  *     key 插入的结点的键值
375  * 返回值：
376  *     根节点
377  */
378 template <class T>
379 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key)
380 {
381     if (tree == NULL)
382     {
383         // 新建节点
384         tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);
385         if (tree==NULL)
386         {
387             cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;
388             return NULL;
389         }
390     }
391     else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
392     {
393         tree->left = insert(tree->left, key);
394         // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
395         if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
396         {
397             if (key < tree->left->key)
398                 tree = leftLeftRotation(tree);
399             else
400                 tree = leftRightRotation(tree);
401         }
402     }
403     else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
404     {
405         tree->right = insert(tree->right, key);
406         // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
407         if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
408         {
409             if (key > tree->right->key)
410                 tree = rightRightRotation(tree);
411             else
412                 tree = rightLeftRotation(tree);
413         }
414     }
415     else //key == tree->key)
416     {
417         cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;
418     }
419 
420     tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;
421 
422     return tree;
423 }
424 
425 template <class T>
426 void AVLTree<T>::insert(T key)
427 {
428     insert(mRoot, key);
429 }
430 
431 /*
432  * 删除结点(z)，返回根节点
433  *
434  * 参数说明：
435  *     tree AVL树的根结点
436  *     z 待删除的结点
437  * 返回值：
438  *     根节点
439  */
440 template <class T>
441 AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z)
442 {
443     // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
444     if (tree==NULL || z==NULL)
445         return NULL;
446 
447     if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
448     {
449         tree->left = remove(tree->left, z);
450         // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
451         if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
452         {
453             AVLTreeNode<T> *r =  tree->right;
454             if (height(r->left) > height(r->right))
455                 tree = rightLeftRotation(tree);
456             else
457                 tree = rightRightRotation(tree);
458         }
459     }
460     else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
461     {
462         tree->right = remove(tree->right, z);
463         // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
464         if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
465         {
466             AVLTreeNode<T> *l =  tree->left;
467             if (height(l->right) > height(l->left))
468                 tree = leftRightRotation(tree);
469             else
470                 tree = leftLeftRotation(tree);
471         }
472     }
473     else    // tree是对应要删除的节点。
474     {
475         // tree的左右孩子都非空
476         if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL))
477         {
478             if (height(tree->left) > height(tree->right))
479             {
480                 // 如果tree的左子树比右子树高；
481                 // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
482                 //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
483                 //   (03)删除该最大节点。
484                 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
485                 // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
486                 AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);
487                 tree->key = max->key;
488                 tree->left = remove(tree->left, max);
489             }
490             else
491             {
492                 // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
493                 // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
494                 //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
495                 //   (03)删除该最小节点。
496                 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
497                 // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
498                 AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);
499                 tree->key = min->key;
500                 tree->right = remove(tree->right, min);
501             }
502         }
503         else
504         {
505             AVLTreeNode<T>* tmp = tree;
506             tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;
507             delete tmp;
508         }
509     }
510 
511     return tree;
512 }
513 
514 template <class T>
515 void AVLTree<T>::remove(T key)
516 {
517     AVLTreeNode<T>* z;
518 
519     if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)
520         mRoot = remove(mRoot, z);
521 }
522 
523 /*
524  * 销毁AVL树
525  */
526 template <class T>
527 void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &tree)
528 {
529     if (tree==NULL)
530         return ;
531 
532     if (tree->left != NULL)
533         destroy(tree->left);
534     if (tree->right != NULL)
535         destroy(tree->right);
536 
537     delete tree;
538 }
539 
540 template <class T>
541 void AVLTree<T>::destroy()
542 {
543     destroy(mRoot);
544 }
545 
546 /*
547  * 打印"二叉查找树"
548  *
549  * key        -- 节点的键值
550  * direction  --  0，表示该节点是根节点;
551  *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
552  *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
553  */
554 template <class T>
555 void AVLTree<T>::print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction)
556 {
557     if(tree != NULL)
558     {
559         if(direction==0)    // tree是根节点
560             cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
561         else                // tree是分支节点
562             cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;
563 
564         print(tree->left, tree->key, -1);
565         print(tree->right,tree->key,  1);
566     }
567 }
568 
569 template <class T>
570 void AVLTree<T>::print()
571 {
572     if (mRoot != NULL)
573         print(mRoot, mRoot->key, 0);
574 }
575 #endif

main.cpp

 1 #include <iostream>
 2 #include "AVLTree.h"
 3 using namespace std;
 4 
 5 static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
 6 #define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
 7 
 8 int main()
 9 {
10     int i,ilen;
11     AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>();
12 
13     cout << "== 依次添加: ";
14     ilen = TBL_SIZE(arr);
15     for(i=0; i<ilen; i++)
16     {
17         cout << arr[i] <<" ";
18         tree->insert(arr[i]);
19     }
20 
21     cout << "
== 前序遍历: ";
22     tree->preOrder();
23 
24     cout << "
== 中序遍历: ";
25     tree->inOrder();
26 
27     cout << "
== 后序遍历: ";
28     tree->postOrder();
29     cout << endl;
30 
31     cout << "== 高度: " << tree->height() << endl;
32     cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;
33     cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;
34     cout << "== 树的详细信息: " << endl;
35     tree->print();
36 
37     i = 8;
38     cout << "
== 删除根节点: " << i;
39     tree->remove(i);
40 
41     cout << "
== 高度: " << tree->height() ;
42     cout << "
== 中序遍历: " ;
43     tree->inOrder();
44     cout << "
== 树的详细信息: " << endl;
45     tree->print();
46 
47     // 销毁二叉树
48     tree->destroy();
49 
50     return 0;
51 }

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