9、【堆】二叉堆

一、堆和二叉堆的介绍

堆的定义

堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：
　　[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；
　　[性质二] 堆总是一棵完全树。
将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
　　(1) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
　　(2) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
　　(3) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2)；

假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
　　(1) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
　　(2) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
　　(3) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);

二、二叉堆的解析

以"最大堆"来进行介绍的。

1. 基本定义

template <class T>
class MaxHeap{
    private:
        T *mHeap;        // 数据
        int mCapacity;    // 总的容量
        int mSize;        // 实际容量

    private:
        // 最大堆的向下调整算法
        void filterdown(int start, int end);
        // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
        void filterup(int start);
    public:
        MaxHeap();
        MaxHeap(int capacity);
        ~MaxHeap();

        // 返回data在二叉堆中的索引
        int getIndex(T data);
        // 删除最大堆中的data
        int remove(T data);
        // 将data插入到二叉堆中
        int insert(T data);
        // 打印二叉堆
        void print();
};

2. 添加

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
    T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

    while(c > 0)
    {
        if(mHeap[p] >= tmp)
            break;
        else
        {
            mHeap[c] = mHeap[p];
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    mHeap[c] = tmp;
}
  
/* 
 * 将data插入到二叉堆中
 *
 * 返回值：
 *     0，表示成功
 *    -1，表示失败
 */
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{
    // 如果"堆"已满，则返回
    if(mSize == mCapacity)
        return -1;
 
    mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
    filterup(mSize);    // 向上调整堆
    mSize++;                    // 堆的实际容量+1

    return 0;
}

insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

3. 删除

/* 
 * 最大堆的向下调整算法
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
            l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
        if(tmp >= mHeap[l])
            break;        //调整结束
        else
        {
            mHeap[c] = mHeap[l];
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    mHeap[c] = tmp;
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 *
 * 返回值：
 *      0，成功
 *     -1，失败
 */
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{
    int index;
    // 如果"堆"已空，则返回-1
    if(mSize == 0)
        return -1;

    // 获取data在数组中的索引
    index = getIndex(data); 
    if (index==-1)
        return -1;

    mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
    filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

    return 0;
}