13、【查找算法】斐波那契查找

斐波那契查找

　　在介绍斐波那契查找算法之前，我们先介绍一下很它紧密相连并且大家都熟知的一个概念——黄金分割。

　　黄金比例又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或1.618:1。

　　0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。

　　大家记不记得斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和）。然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。

　　基本思想：也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。

　　相对于折半查找，一般将待比较的key值与第mid=（low+high）/2位置的元素比较，比较结果分三种情况：

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1;

     3）<，high=mid-1。

　　斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，及n=F(k)-1;

 开始将k值与第F(k-1)位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1,k-=2;

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,high]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

　　3）<，high=mid-1,k-=1。

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1个，所以可以递归 的应用斐波那契查找。

　　复杂度分析：最坏情况下，时间复杂度为O(log₂n)，且其期望复杂度也为O(log₂n)。

C++实现源码：

//斐波那契查找
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <ctime>

using namespace std;

#define MAX 100
#define max_size 150

//数组输入
void input(int *arr)
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(int i = 0; i < MAX; i++)
    {
        arr[i] = rand()%100;
    }
}
//数组输出
void output(int *arr)
{
    for(int i = 0; i < MAX; i++)
    {
        printf("%5d", arr[i]);
        if(0 == (i+1) % 10)
            cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
//快速排序
void quickSort(int *arr, int l, int h)
{
    if(l < h)
    {
        int low, high, tmp;
        low = l;
        high = h;

        tmp = arr[l];//选择基准值
        //将数组按照基准值分为两部分
        while(low < high)
        {
            while(low < high && arr[high] > tmp)
                high--;
            if(low < high)
                arr[low++] = arr[high];
            while(low < high && arr[low] < tmp)
                low++;
            if(low < high)
                arr[high--] = arr[low];
        }
        arr[low] = tmp;
        //递归排序
        quickSort(arr, l, low-1);
        quickSort(arr, low+1, h);
    }
}
//构造一个斐波那契数组
void fibonacci(int * F)
{
    F[0] = 0;
    F[1] = 1;
    for(int i = 2; i < max_size; i++)
        F[i] = F[i-1] + F[i-2];
}
//斐波那契查找
int fibonacciSearch(int *arr, int len, int value)
{
    int low = 0;
    int high = len-1;

    int F[max_size];
    fibonacci(F);//构造一个斐波那契数组

    int k = 0;
    while(len > F[k]-1)//计算n位于斐波那契数组中的位置
        k++;

    int *temp;//将数组arr扩展到F[k]-1长度

    temp=new int [F[k]-1];
    memcpy(temp, arr, len*sizeof(int));

    for(int i = len; i < F[k]-1; i++)
        temp[i] = arr[len-1];

    while(low < high)
    {
        int mid = low + F[k-1]-1;
        if(value < temp[mid])
        {
            high = mid -1;
            k -= 1;
        }
        else if(value > temp[mid])
        {
            low = mid+1;
            k -= 2;
        }
        else
        {
            if(mid < len)
                return mid;
            else
                return len-1;
        }
    }
    delete[] temp;
    return -1;
}


int main()
{
    int x, pos, num[MAX];
    input(num);

    cout << "sort before:" << endl;
    output(num);
    quickSort(num, 0, MAX-1);
    cout << "sort after:" << endl;
    output(num);

    cout << "Enter find num : ";
    cin >> x;

    pos = fibonacciSearch(num, MAX, x);
    if(pos)
        cout << "OK!" << x << "is found in pos : " << pos << endl;
    else
        cout << "Sorry!" << x << "is not found in num" << endl;

    return 0;
}