二分图
0x00 简介
- 什么是二分图？
- 顾名思义，就是能分成两个部分的图
- 如果把这两部分分别叫做{U}，{V}，我们规定，如果存在一种U、V的划分，使所有图中的边<u,v>，不存在u,v在同一个集合（同时在{U}或者{V}），那么这个图就是二分图
- 这个性质有什么用呢？
- 我们发现可以把一个集合摆在左边，另一个集合摆在右边，然后所有原图中的边都是从左边连到右边，没有左-左和右-右的边
- 然后我们就可以干一些神奇的事
0x01 最大匹配
- 一个班级里有一些男女同学，一些同学之间了美好的情感，我们希望找一个最大匹配，就是希望找到最多对有好感的同学，把他们两两配对且没有冲突
- 我们发现男女同学构成的关系网是一张二分图（没有男-男，女-女的边）
- 于是乎问题就变成了一个二分图最大匹配问题，一个二分图中不存在奇环（简单可证），所以我们有神奇的办法解决这个问题
网络流！
- 从S向男孩子连容量为1的边，从男孩子向他喜欢的女孩子连容量为1的边，从女孩子向T连容量为1的边
- 求最大流，正确性很显然
- 就是常数有点大
匈牙利算法
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我们发现，如果我们从一个没有妹子的男生出发，走一条男-女-男-女-男-女……的链，并且匹配边与不匹配边交错，最后以一个没匹配到的妹子结束
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像这样
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男 --- 不匹配 --- 女 --- 匹配 --- 男 --- 不匹配 --- 女
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然后我们把路径上所有的匹配与不匹配取反
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变成这样
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男 --- 匹配 --- 女 --- 不匹配 --- 男 --- 匹配 --- 女
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我们发现，这样没有影响匹配不冲突的性质，并且总的匹配数量+1
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我们就可以不断的重复这个过程，不断地使匹配数+1，直到找不到这样的链为止
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这样的链叫做增广路
HK算法
- 全名叫什么我也记不得了
- 这是一个对匈牙利算法的优化
- 我们发现，一次DFS找增广路的时间和增广路的长度息息相关，这和网络流是类似的（我们也希望找一条长度最短的增广路）
- 那我们怎么优化网络流呢？
- Dinic！对顶点进行距离标号，只允许距离+1的增广
- 这里也可以类比这样的做法，对二分图进行距离标号，只允许距离+1的增广
- 然后跑匈牙利就可以啦！跑是最快的，比Dinic求最大匹配快的多
0x02 最大权完备匹配
- 有的时候，同学们之间的情感是不等的，一些同学们之间君子之交，而另一些同学们干柴烈火
- 然后我们希望找一种最干柴烈火的配对方案
- 这就需要最大权匹配
费用流！
- 从S向男孩子连容量为1费用为0的边，从男孩子向他喜欢的女孩子连容量为1费用为这个配对的权值的边，从女孩子向T连容量为1费用为0的边
- 求最大费用最大流，正确性很显然
- 就是常数有点大
KM算法
- KM算法要求一张完全二分图！！！如果不是完全二分图得补成完全二分图！！！
- 我们考虑给男孩子和女孩子都维护一个期望值，只有一组男女配对满足：男孩子的期望+女孩子的期望 == 这组配对的权值 ，我们才认可这对配对
- 并且时刻保持对于所有的配对，都有 男孩子的期望+女孩子的期望 >= 这组配对的权值
- 这样如果我们对于期望进行一些调整，并且满足上面两个性质的前提下，找到了一种完备匹配（所有人都匹配上了），那么这种匹配是权值最大的
- 显然此时的匹配权值就是男女同学的期望值之和，考虑到这一点，KM算法的正确性就不难理解了
- 正确性解释：我们考虑二分图的任何一个匹配，它的权值可能大于任意时刻的期望值之和么？
- 不可能，显然任何一组匹配里每个男孩和女孩都只出现了一次，因此由第二条性质我们可以推导出 (sum)男孩子的期望+(sum)女孩子的期望 >= 任何一组匹配权值
- 所以如果我们能够取等了，那么此时就是最大匹配
- 那么我们如何修改期望呢？
- 考虑某个时刻，如果我们发现此时的期望太高，不能为一个男孩子找到配对，那么我们要考虑降低期望
- 首先，本来能认可的配对显然还需要继续认可，然后我们应该新加入一些认可的匹配。由于不能删去本来认可的匹配，我们发现本来认可的匹配两边一定是一边加一边减，而且数值相同。我们考虑这个男孩子匹配的过程，一定是由于他所有喜欢的都女孩子被另一些男孩子抢了，并且找不到增广路，所以才会导致匹配不存在。
- 那我们要让期望降低多少，才能加入一个配对呢？
- 我们考虑找增广路的过程，一定有某个时刻一个没匹配上的男孩子被拒绝了，原因是配对权值不等于期望之和，那么这个男孩子要降低一些期望，才能加入一些配对，要降低的最少期望等于他所有被拒绝的经历中，离目标最近的那一个，设这次的差为delta
- 我们发现找增广路的过程中一定是左右左右左交替，并且以左开始，以左结束，死在一个找不到增广路的男孩子身上，这样的话我们取所有男孩子的delta的最小值d，把增广路上所有男孩子的期望降低d，所有女孩子的期望增加d
- 这样，所有原来在匹配中的边还在匹配里，并且由于左边的点比较多，总的期望下降了一点
- 不断重复这个过程，直到找到完备匹配
- 具体实现看代码
- 一个优化！将原来的匈牙利DFS找增广路改成BFS，不然会被卡掉！！
Extra
- 如果我们要求非完全二分图最大权匹配，不要求全部匹配上呢？
- 对于费用流做法，只要增广的费用小于零就停止不做了
- 对于KM做法，补上一些权值为0的配对补成完全图就可以了
- 如果我们要求非完全二分图最大权匹配，要求全部匹配上呢？
- 对于费用流做法，正常搞就可以了
- 对于KM做法，补上一些权值为-INF的配对补成完全图