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  • 整体二分

    整体二分

    0x00 简介

    • 首先你得明白二分答案
    • 二分答案通过一个check函数的单调性,把一个最优化问题转化为了一个检验性问题
    • 整体二分即把很多最优化问题转化为很多检验性问题,并同时解决它们

    0x01 例题

    • 一道经典的题,静态区间第k小
    • 如果只有一个询问,我们可以考虑这样一种做法
    • 在询问的区间里二分答案,如果比二分出的答案小的数超过了k个,说明二分出的答案太大了,反之则说明二分的答案太小了,这样我们就可以在log的时间内解决问题
    • 但是对于很多个询问,我们怎么办呢?
    • 我们可以考虑把他们一起二分
    • 用树状数组统计一个区间内小于二分的答案的数的个数
    • 然后好像并没有什么用,对于一个k很大的询问,复杂度会退化成nlogn2,因为他最坏情况下要被二分logn次,每次统计需要nlogn,对于所有的询问,最坏情况下总共需要统计n2logn^2次
    • 但我们可以发现一个性质,如果一个二分的答案对于一个询问来说太小了,那么比这个答案小的数对于询问的贡献是固定的(即,原来比这个答案小的数,二分的答案变大,这些数还是比答案小)
    • 我们能不能不统计这些比答案小的数呢?

    0x02 思路

    • 我们每次二分把询问分成两块,一块认为二分的答案太大了,另一块认为二分的答案太小了
    • 如果二分的答案太小了,显然比答案小的部分贡献是固定不变的,我们可以直接在认为答案太小的块中减去所有询问所得出的答案k,然后丢到右边半块。所有认为二分的答案太大的块丢到左边一半。
    • 最后很重要的,把原数组里的数也按照比二分的答案大和小丢进左右两半(我们不对右半边统计左半边的数,也不对左半边统计右半边的数)
    • 这样二分下去,每个数被二分logn次,被查询logn次,总复杂度是nlogn^2
    • 具体实现可以像cdq分治那样写,具体可以看我的实现
    许愿弥生改二
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