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  • 「刷题」在美妙的数学王国中畅游

    THUWC2017的题。

    好像不是很难,只要稍会导数基本就是切了。。

    而且还给了泰勒展开的式子。

    就更容易了。

    首先对于三个式子求高阶导数。

    导到15.16次就差不多了。

    1.$f(x)=sin(ax+b)$

    $$D^{(1)}[sin(ax+b)]=acos(ax+b)$$

    $$D^{(2)}[sin(ax+b)]=-a^2sin(ax+b)$$

    $$D^{(3)}[sin(ax+b)]=-a^3cos(ax+b)$$

    $$D^{(4)}[sin(ax+b)]=a^4sin(ax+b)$$

    发现规律了。

    $$$D^{(i)}[sin(ax+b)]=egin{cases} &a^icos(ax+b)&i=4k+1\&-a^isin(ax+b)&i=4k+2\-a^icos(ax+b)&i=4k+3\&a^isin(ax+b)&i=4kend{cases}$$

    2.$f(x)=e^{ax+b}$

    设$g(x)=ax+b,h(x)=e^{x}$

    $$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&D[h(g(x))]\&=&D[h[g(x)]]D[g(x)]\&=&ae^{ax+b}end{array}$$

    所以

    $$D^{(i)}[f(x)]=a^ie^{ax+b}$$

    3.$f(x)=ax+b$

    $$D^{(i)}[f(x)]=a$$

    他还给了泰勒展开的式子,直接从0开始导即可。

    泰勒展开是:
    $$f(x)=sumlimits_{i=0}^{n}frac{D^{(i)}[f(x)]x^i}{i!}$$

    然后把每个函数泰勒展开成多项式,求出每一项的系数,然后利用$LCT$链上求系数和直接暴力维护即可。

    复杂度$O(16nlogn)$

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