1.质数情况
我们要求的式子可以表示成(x^2equiv a(mod p))
首先判有无解：
我们知道：(a^{frac{p-1}{2}}=-1/0/1)
只有这三种情况。
当(a^{frac{p-1}{2}}=-1)时无解，为0时(x=0)，为(1)时优解。
证明必要性：
[(x^2)^{frac{p-1}{2}}equiv 1
]
证毕。
证明充分性：
设原根(g)。
[g^iequiv a
]
[a^{frac{p-1}{2}}equiv g^{ifrac{p-1}{2}}equiv 1(mod p)
]
根据原根的性质有：
[(p-1)|ifrac{p-1}{2}
]
也就是说：(2|i)
证毕。
设(b^2-aequiv w(mod p))
并且满足:
[w^{frac{p-1}{2}}equiv -1(mod p)
]
给出结论:
[x=(b+i)^{frac{p+1}{2}}
]
利用一种扩域的思想，设虚数单位(i)为：
(i=sqrt{w})
例如:(a+bi=a+bsqrt{w})
证明：
[egin{aligned}
x^2&=(b+i)^{p}(b+i)\
&=sumlimits_{j=0}^{p}inom{p}{j}b^ji^{p-j}(b+i)\
&=left(inom{p}{0}b^0i^{p}+inom{p}{p}b^pi^0
ight)(b+i)\
(b+i)^p&equiv b^p+i^p\
&equiv b^{p-1}b+w^{frac{p-1}{2}}i\
&equiv b-i\
x^2&equiv (b-i)(b+i)\
&equiv b^2-w\
&equiv a\
end{aligned}]
证明完毕。
(p^k)和任意模数情况也可以做。
复杂度多一个(log)。
先鸽了。