[ABC141F] Xor Sum 3

• AT4835 [ABC141F] Xor Sum 3

题目描述：

给定一个长度为 (N) 的序列 ((N le 10^5))。

要你把这个序列划分成两个集合。

最后答案等于第一个集合中所有元素的异或和（(operatorname{xor})）加上第二个集合中所有元素的异或和。

最大化答案。

正解

一般看到位运算都会要先去把每一位分开考虑。

假如这一位有奇数个 1，那么无论怎么拆分成两个集合这一位始终有 1 的贡献。

所以先把奇数个 1 的贡献给算出来，不加以考虑。

假如这一位有偶数个 1，那么这一位的所有数异或起来结果肯定是 0。

设分成两个集合之后，两个集合不考虑奇数个 1 的位个话，异或和分别为 (x_1), (x_2)。

就有 (x_1 operatorname{xor}x_2) 等于 0，也就是说 (x_1=x_2)。

那么只要让其中一个数最大，另一个数会等于这个数，答案也就是最大的。

这一步可以用线性基做，时间复杂度(O(nlog n))。

[ans = 2 imes x_{max} + sum_{i = 0}^{60} [cnt_i mod 2 = 1] imes2^i ]

(color{DeepSkyBlue} {Code :})

#include <bits/stdc++.h>
#define MAX 100005
#define bit(x) (1ll << x)

using namespace std;

int n;
int cnt[64];
long long a[MAX], ans;

inline long long Rd() {
	long long x = 0; char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return x;
}

struct linear_base {
	long long u[60];
	inline void insert(long long val) {
		for(int i = 59; i >= 0; --i) {
			if(val & bit(i)) {
				if(u[i]) val ^= u[i];
				else {
					u[i] = val;
					return;
				}
			}
		}
	}
	inline long long query() {
		long long res = 0;
		for(int i = 59; i >= 0; --i)
			if((res ^ u[i]) > res) res ^= u[i];
		return res;
	}
}lsk;

int main() {
	n = Rd();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		a[i] = Rd();
		for(int j = 59; j >= 0; --j)
			if(a[i] & bit(j)) ++cnt[j];
	}
	
	for(int i = 59; i >= 0; --i) {
		if(cnt[i] & 1) {
			ans += bit(i);
			for(int j = 1; j <= n; ++j) {
				if(a[j] & bit(i)) {
					a[j] ^= bit(i);
				}
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) lsk.insert(a[i]);

	cout << ans + 2ll * lsk.query() << endl;
	return 0;
}