引入
(n + 1) 个点((x_i, y_i))可以唯一地确定一个不超过(n)次的多项式
比较直观的做法是待定系数法然后高斯消元解方程
不过复杂度是(O(n^3))的，不是特别优秀
那有没有更快的做法呢？
拉格朗日插值
考虑构造函数(L(x))，使得(L(x))随着自变量(x_i)的变化，对应的就是(y_i)这个值
[L(x) ~=~ sum_{i = 0}^{n}y_i ℓ_i(x)
]
其中(ℓ_i(x))为拉格朗日基本多项式，其表达式为:
[ℓ_i(x) ~=~ prod_{j
e i} frac {x - x_j} {x_i - x_j}
]
发现对于给定的 (n + 1) 个 (x)，当且仅当 (x = x_i) 时 (ℓ_i(x) = 1)，否则 (ℓ_i(x) = 0)，这表明了构造成立
当需要求 (x=k) 时的函数值时，可以直接将 (k) 带入 (L(x)) 即可，复杂度 (O(n^2))
若给定点值的 (x) 是连续的整数时，可以预处理阶乘做到 (O(n)) 求点值
重心拉格朗日插值法
拉格朗日重心插值法是拉格朗日插值法的一种改进
不难发现每次计算(ℓ_i)时其实是算了很多重复的东西，我们可以把它简化一下
设
[ℓ(x) = prod_{i = 0}^{n} (x - x_i)
]
定义重心权
[w_i = frac 1 {prod_{i = 0,i
e j}^{n}(x_i - x_j)}
]
可以将拉格朗日基本多项式重新写为：
[ℓ_i(x) ~=~ ℓ(x)frac {w_i} {x - x_i}
]
则
[L(x) ~=~ ℓ(x)sum_{i = 0}^n frac {w_i} {x - x_i}
]
优势:
每次新增加一个点，一般拉格朗日插值会重新计算一次达到(~O(n^2)~)的复杂度，而重心拉格朗日插值只需要(~O(n)~)计算(~w_i~)即可