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题目
题意简述
给定 (n) 个圆 ((x_i,y_i,r_i))，每个圆对应一个点集 (S_i=left{(x,y)mid (x-x_i)^2+(y-y_i)^2leq r_i^2 ight})。
求一个最小的 (i) 满足 (cap_{j=1}^i S_j=varnothing)；如果无解输出 NIE。
题解
简单又自然的随机化
我们考虑枚举 (i)，然后判定 (S_{1sim i}) 的交集是否为空。
如何判定呢？我们想到一个简单的方法，我们随机一些在圆的边界上的点，只需要判定这些点是否存至少在一个点在所有圆内即可。
这种方法简单又自然，但是随机化算法正确率不高，这远远不够。
研究几何性质
如果做计算几何题而抛弃几何性质，所得到的做法往往是劣解。
继续沿着上面的思路，我们同样考虑枚举 (i)，然后判定 (S_{1sim i}) 的交集是否为空。
不同的是，我们定义一个交集中横坐标最大的点为代表点（代表点只会有一个，这是因为圆是凸集，凸集的交集还是凸集）。
我们发现，如果一些圆的交集非空，那么其代表点一定满足：它是所有圆两两交集的代表中横坐标最小的那个。
证明十分显然，考虑交集的意义即可。
最后的结论
综上所述，对于一个 (i)，我们只需要求出 (1sim i-1) 与 (i) 的代表点即可，如果所有代表点中横坐标最小的那一个在所有的圆内，那么其合法，否则不合法，换言之，答案为 (i)。
我们考虑证明这个结论：
- 若没有交集，则这个点必然不合法，符合我们的预期；
- 若有交集，则我们需要证明这个点是交集的代表点。
- 假设其不是交集的代表点，则交集的代表点可能在其左右；
- 左边：不可能，若交集存在，则代表点的横坐标 (geq) 当前点横坐标。
- 右边：不可能，考虑当前点在 (S_acap S_b) 中得到，那么所有 (xgeq) 当前点横坐标的点均被交集抛弃，因此代表点的横坐标 (leq) 当前点横坐标。
- 由夹逼过程可知结论正确。
这个算法的时间复杂度为 (Theta(n^2))。
参考程序
下面我们来解决两圆求交的问题。
下面介绍一下两种方法：余弦定理和相似三角形。
余弦定理
用余弦定理求解需要用到三角函数，常数大，精度差。
我们考虑下图：
对 ( riangle{ACB}) 运用余弦定理，得到 (r_a^2+d^2-2dr_acosalpha=r_b^2)，进而求出 (alpha=arccosleft(frac{r_a^2+d^2-r_b2}{2dr_a} ight))。
然后我们再求出基准角 (eta)，显然 (eta= exttt{atan2}(y_b-y_a,x_b-x_a))。
因此，我们得到了 (C,D) 两点的对 (A) 的极角为 (eta+alpha)，(eta-alpha)。
对于极角为 ( heta)，极径为 (r_a) 的点，我们得出其对应点的坐标为 ((r_acos heta,r_asin heta))。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
const double eps=1e-6;
inline int sgn(reg double x){
if(fabs(x)<eps)
return 0;
else
return x<0?-1:1;
}
inline double sqr(reg double x){
return x*x;
}
const int MAXN=2e3+5;
struct Vector{
double x,y;
inline Vector(reg double x=0,reg double y=0):x(x),y(y){
return;
}
inline Vector operator+(const Vector& a)const{
return Vector(x+a.x,y+a.y);
}
inline Vector operator-(const Vector& a)const{
return Vector(x-a.x,y-a.y);
}
inline Vector operator*(const double a)const{
return Vector(x*a,y*a);
}
};
inline double dot(const Vector& a,const Vector& b){
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
inline double cross(const Vector& a,const Vector& b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
typedef Vector Point;
inline double getDis2(const Point& a,const Point& b){
return dot(a-b,a-b);
}
inline double getDis(const Point& a,const Point& b){
return sqrt(getDis2(a,b));
}
inline bool isEmpty(const Point& a){
return a.x!=a.x||a.y!=a.y;
}
struct Circle{
Point o;
double r;
inline bool contain(const Point& x)const{
return sgn(sqr(r)-getDis2(x,o))>=0;
}
inline Point getRig(void)const{
return o+Vector(r,0);
}
};
inline bool isCon(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(sqr(a.r-b.r)-getDis2(a.o,b.o))>=0;
}
inline bool isSep(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(getDis2(a.o,b.o)-sqr(a.r+b.r))>0;
}
inline Point getPot(const Circle &a,const Circle &b){
if(isCon(a,b))
if(sgn(b.getRig().x-a.getRig().x)>0)
return a.getRig();
else
return b.getRig();
else if(isSep(a,b))
return Point(nan(""),nan(""));
else{
if(a.contain(b.getRig()))
return b.getRig();
else if(b.contain(a.getRig()))
return a.getRig();
else{
reg double d=getDis(a.o,b.o);
reg double ang=acos(((sqr(a.r)+sqr(d))-sqr(b.r))/(2*a.r*d));
reg double delta=atan2(b.o.y-a.o.y,b.o.x-a.o.x);
reg double ang1=delta+ang,ang2=delta-ang;
Point p1=a.o+Vector(cos(ang1)*a.r,sin(ang1)*a.r);
Point p2=a.o+Vector(cos(ang2)*a.r,sin(ang2)*a.r);
Point res;
if(sgn(p2.x-p1.x)>0)
res=p2;
else
res=p1;
return res;
}
}
}
int n;
Circle a[MAXN];
int main(void){
scanf("%d",&n);
Point lef(0,0);
for(reg int i=1;i<=n;++i){
static int x,y,r;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&r);
a[i].o=Point(x,y),a[i].r=r;
if(i==2)
lef=getPot(a[1],a[2]);
else if(i>2){
for(reg int j=1;j<i&&!isEmpty(lef);++j){
Point tmp=getPot(a[i],a[j]);
if(isEmpty(tmp)||tmp.x<=lef.x)
lef=tmp;
}
for(reg int j=1;j<=i&&!isEmpty(lef);++j)
if(!a[j].contain(lef))
lef=Point(nan(""),nan(""));
}
if(isEmpty(lef)){
printf("%d
",i);
return 0;
}
}
puts("NIE");
return 0;
}
相似三角形
如上图，我们设 (a=|AG|)，(b=|BG|)，(h=|CG|)。
那么我们有：
[egin{cases}r_a^2=a^2+h^2\r_b^2=b^2+h^2\a+b=dend{cases}
]
那么我们有：
[a=frac{r_a^2+d^2-r_b^2}{2d}
]
然后考虑 ( riangle AIBsim riangle CHG)，我们有：
[(y_b-y_a)h=d(y_c-y_g)
]
我们可由此解出坐标，其他同理可算出。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
const double eps=1e-6;
inline int sgn(reg double x){
if(fabs(x)<eps)
return 0;
else
return x<0?-1:1;
}
inline double sqr(reg double x){
return x*x;
}
const int MAXN=2e3+5;
struct Vector{
double x,y;
inline Vector(reg double x=0,reg double y=0):x(x),y(y){
return;
}
inline Vector operator+(const Vector& a)const{
return Vector(x+a.x,y+a.y);
}
inline Vector operator-(const Vector& a)const{
return Vector(x-a.x,y-a.y);
}
inline Vector operator*(const double a)const{
return Vector(x*a,y*a);
}
};
inline double dot(const Vector& a,const Vector& b){
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
inline double cross(const Vector& a,const Vector& b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
typedef Vector Point;
inline double getDis2(const Point& a,const Point& b){
return dot(a-b,a-b);
}
inline double getDis(const Point& a,const Point& b){
return sqrt(getDis2(a,b));
}
inline bool isEmpty(const Point& a){
return isnan(a.x)||isnan(a.y);
}
struct Circle{
Point o;
double r;
inline bool contain(const Point& x)const{
return sgn(sqr(r)-getDis2(x,o))>=0;
}
inline Point getRig(void)const{
return o+Vector(r,0);
}
};
inline bool isCon(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(sqr(a.r-b.r)-getDis2(a.o,b.o))>=0;
}
inline bool isSep(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(getDis2(a.o,b.o)-sqr(a.r+b.r))>0;
}
inline Point getPot(const Circle &a,const Circle &b){
if(isCon(a,b))
if(sgn(b.getRig().x-a.getRig().x)>0)
return a.getRig();
else
return b.getRig();
else if(isSep(a,b))
return Point(nan(""),nan(""));
else{
if(a.contain(b.getRig()))
return b.getRig();
else if(b.contain(a.getRig()))
return a.getRig();
else{
reg double d=getDis(a.o,b.o);
reg double val=(sqr(a.r)+sqr(d)-sqr(b.r))/(2*d);
reg double h=sqrt(sqr(a.r)-sqr(val));
Point bas=a.o+(b.o-a.o)*(val/d);
Vector tmp=Vector(b.o.y-a.o.y,a.o.x-b.o.x)*(h/d);
Point p1=bas-tmp,p2=bas+tmp;
if(sgn(p2.x-p1.x)>0)
return p2;
else
return p1;
}
}
}
int n;
Circle a[MAXN];
int main(void){
scanf("%d",&n);
Point lef(0,0);
for(reg int i=1;i<=n;++i){
static int x,y,r;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&r);
a[i].o=Point(x,y),a[i].r=r;
if(i==2)
lef=getPot(a[1],a[2]);
else if(i>2){
for(reg int j=1;j<i&&!isEmpty(lef);++j){
Point tmp=getPot(a[i],a[j]);
if(isEmpty(tmp)||tmp.x<=lef.x)
lef=tmp;
}
for(reg int j=1;j<=i&&!isEmpty(lef);++j)
if(!a[j].contain(lef))
lef=Point(nan(""),nan(""));
}
if(isEmpty(lef)){
printf("%d
",i);
return 0;
}
}
puts("NIE");
return 0;
}