扩展欧几里德算法

欧几里德算法戳这

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 一、概述

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。——百度百科

二、代码实现

//摘自《挑战程序设计竞赛 第二版》
int extgcd(int a,int b,int& x,int& y){
int d=a;
if (b!=0){
    d=extgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}else{
    x=1;y=0;
}
return d;
}

三、算法分析 （摘自http://blog.csdn.net/acmore_xiong/article/details/47694909）

需要用到的欧几里德表达式

①gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

②gcd(a,0)=a

设如下两个方程：

ax+by  =  gcd(a,b)  =  d；

bx’+(a%b)y’  =  gcd(b,a%b)；

因为，gcd(a,b)  =  gcd(b,a %b)，

所以，ax+by  =  bx’+(a%b)y’  =  bx’ +(a – [a/b]*b)y’  =  ay’ + b(x’ – [a/b]y’)，

由恒等关系有： x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’)，[a/b]表示a/b的值向下取整。

所以参数x,y不断的被取代，函数递归下去，但是a%b会等于0，等于0时，gcd(a,0)=a,所以a*x+0*y=a，x=1,y=0。然后返回得到x,y的值。