P2331 [SCOI2005]最大子矩阵 （动规：分类讨论状态）

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题目：

题目描述

这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵不能相互重叠。
输入输出格式
输入格式：

第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的分值的绝对值不超过32767)。

输出格式：

只有一行为k个子矩阵分值之和最大为多少。

输入输出样例
输入样例#1： 复制

3 2 2
1 -3
2 3
-2 3

输出样例#1： 复制

9

PS：好像有很多类似的题目，上次的那道中国象棋（放炮的）也是，都是分类讨论多种情况就好了。

思路：

注意到m ≤ 2，所以可以按行dp，分类讨论转移的情况。

　　① 当前行不选；

　　② 当前行选左边；

　　③ 当前行选右边；

　　④ 当前行两个都选，但是作为两个矩阵；

　　⑤ 当前行两个都选，作为同一个矩阵；

以上的m = 2时的情况，m = 1时更简单，只有选或者不选，就不赘述了。

状态：

　　f[i][j][k] 表示当前第i行，构造了j个矩阵，当前行的状态为k，（k = 0 - 4对应上面的① - ⑤）

状态转移方程很容易得出，见代码。

时间复杂度是O(NM⁴K)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAX_N = 100 + 5;
const int MAX_M = 2 + 1;
const int MAX_K = 15 + 1;

inline void tomax(int&a, int b)
{
    a = max(a, b);
}

int mat[MAX_N][MAX_M];
int f[MAX_N][MAX_K][5];

int main()
{
    int N, M, K;
    cin >> N >> M >> K;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++)
            scanf("%d", &mat[i][j]);
    memset(f, -INF, sizeof f);
    for (int i = 0; i <= N; i++)
        for (int j = 0; j <= K; j++)
            f[i][j][0] = 0;
    if (M == 1) {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            for (int j = 1; j <= K; j++) {
                tomax(f[i][j][0], f[i-1][j][0]);
                tomax(f[i][j][0], f[i-1][j][1]);
                if (j-1 >= 0)
                    tomax(f[i][j][1], f[i-1][j-1][0]);
                tomax(f[i][j][1], f[i-1][j][1]);
                f[i][j][1] += mat[i][1];
            }
        cout << max(f[N][K][0], f[N][K][1]) << endl;
        return 0;
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= K; j++) {
            for (int k = 0; k <= 4; k++) {
                //0：当前行不选
                tomax(f[i][j][0], f[i-1][j][k]);
                //1：当前行选左边
                if ((k == 0 || k == 2 || k == 4) && (j-1 >= 0))
                    tomax(f[i][j][1], f[i-1][j-1][k]);
                else if (k == 1 || k == 3)
                    tomax(f[i][j][1], f[i-1][j][k]);
                //2：当前行选右边
                if ((k <= 1 || k == 4) && j-1 >= 0)
                    tomax(f[i][j][2], f[i-1][j-1][k]);
                else if (k == 2 || k == 3)
                    tomax(f[i][j][2], f[i-1][j][k]);
                //3：当前行左右都选（分开）
                if ((k == 0 || k == 4) && j-2 >= 0)
                    tomax(f[i][j][3], f[i-1][j-2][k]);
                else if ((k == 1 || k == 2) && j-1 >= 0)
                    tomax(f[i][j][3], f[i-1][j-1][k]);
                else if (k == 3)
                    tomax(f[i][j][3], f[i-1][j][k]);
                //4：当前行左右都选（一起的）
                if (k != 4 && j-1 >= 0)
                    tomax(f[i][j][4], f[i-1][j-1][k]);
                else if (k == 4)
                    tomax(f[i][j][4], f[i-1][j][k]);
            }
            f[i][j][1] += mat[i][1];//1：当前行选左边
            f[i][j][2] += mat[i][2];//2：当前行选右边
            f[i][j][3] += mat[i][1] + mat[i][2];//3：当前行左右都选（分开）
            f[i][j][4] += mat[i][1] + mat[i][2];//4：当前行左右都选（一起的）
        }
    }
    int ans = -INF;
    for (int k = 0; k <= 4; k++)
        tomax(ans, f[N][K][k]);
    cout << ans;
    return 0;
}
/*
3 1 2
1
-1
2
*/