「SOL」战争(JSOI 洛谷)

一道融合了好多计算几何技巧的题目

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# 题面

> Linked 洛谷 P4557

给定两组散点 (A,B)，给定 (Q) 组询问，每次询问给出向量 (v=(dx,dy))：
求将 (B) 的散点全部移动 (v)，得到新的散点集 (B')，是否存在 (A) 中的三个点构成的三角形与 (B) 中的三点构成的三角形有公共点。

(|A|,|B|le 10^5)，(Qle10^5)。

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# 解析

“存在 (A) 中三点和 (B) 中三点，使得构成的三角形有公共点”，等价于 (A) 构成的凸包与 (B) 构成的凸包有公共点。因为凸包包含散点集中的任意一个点，也就包含散点集中任意三个点构成的三角形。

于是第一步非常自然的，分别求出 (A,B) 的凸包，Andrew或者Graham随便，但是用Andrew比较好的是可以删掉凸包边上的点。

Hint.

那么在下面的解析中，默认 “$A,B$” 指的是散点集求得的凸包。

怎么判断凸包有没有交？如果时间复杂度比较宽松，就可以检测 (A) 的每个顶点，看是否在 (B) 里面，再检测 (B) 的顶点是否在 (A) 里面，这样最优复杂度也只能是 (O(nlog n)) 一次。显然不可过。

于是就要用到一个黑科技，叫做闽可夫斯基和（Minkowski）；两个凸包 (A,B) 的闽可夫斯基和定义如下：

[{(x_p+x_q,y_p+y_q)mid pin A,qin B} ]

可以感受到它的几何意义就是“把凸包 (B) 沿着凸包 (A) 的边缘平移一圈得到的封闭图形”，那么显然这个封闭图形仍然是个凸包。举个简单的例子，将下图的黑色凸包和绿色凸包做闵可夫斯基和就可以得到橙色凸包：

这个有什么用？这是将两个凸包“相加”，能不能两个凸包“相减”？

我们把 (B) 以原点为对称中心对称得到 (B^-)，那么我们对 (A) 和 (B^-) 做闵可夫斯基和就是：

[C={(x_p-x_q,y_p-y_q)mid pin A,qin B} ]

因为 (A,B^-) 都是凸包，所以 (C) 也是凸包。而 (C) 就非常有用了，如果原点包含在 (mathbf C) 中，那么 (A,B) 就有交点。

于是第二步就是要对 (A,B^-) 求闵可夫斯基和得到 (C)。

怎么求闵可夫斯基和？我们只需要找到 (C) 的边界，具体步骤如下：

• 分别找到 (A,B) 的最左下角的点 (p,q)（(y) 坐标最小的前提下 (x) 坐标最小）；
• (C) 的第一个点 (w=p+q)；
• 逆时针找凸包上与 (p,q) 相邻的边 (overrightarrow{E_p},overrightarrow{E_q})；
• 比较 (E_p,E_q) 的极角，找到靠右的一条边，比如说是 (overrightarrow{E_p})；
• (w) 移动到 (w+overrightarrow E_p)；
• (p) 逆时针移动到下一个点；

这样 (p,q) 一直移动就会将 (A,B) 的每个点都遍历到，然后每次得到的 (w) 都是 (C) 边界上的点，特殊处理一下可以得到 (C) 的顶点，具体可以看代码。

Hint.

下面简记“凸包 $A$ 的每个点移动向量 $v$”得到的图形为 $A+v$。

以及对于两点 $p,q$，记 $ppm q=(x_ppm x_q,y_ppm y_q)$

再看一下题目的要求，即 (A) 和 (B+v) 没有交；根据闽可夫斯基和就是判断

[Oin {p+qmid pin A,qin(B^--v)}Leftrightarrow (O+v)in{p+qmid A,qin B^-} ]

也就是判断 ((O+v)) 这个点在不在凸包 (C) 内了。

最后一步，对 (C) 进行极角排序，如下图：

仍然是找到 (C) 的左下角的点 (O)，然后向凸包的其他点引出射线。二分找到 ((O+v)) 所在的位置（位于哪两条射线之间），然后用叉积判断一下点在线段的哪一侧即可。

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# 源代码

/*Lucky_Glass*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<algorithm>
using namespace std;

namespace GEO{
    typedef long long llong;
    const double EPS=1e-15;
    inline llong square(const int &key){return 1ll*key*key;}
    inline int sgn(const llong &key){
        if(!key) return 0;
        return key<0? -1:1;
    }
    inline int sgn(const int &key){
        if(!key) return 0;
        return key<0? -1:1;
    }
    inline int sgn(const double &key){
        if(fabs(key)<EPS) return 0;
        return key<0? -1:1;
    }
    struct Vector{
        int x,y;
        Vector(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){}
        friend double angle(const Vector &u,const Vector &v){
            return acos(double((long double)dot(u,v)/(long double)u.len()/(long double)v.len()));
        }
        friend llong dot(const Vector &u,const Vector &v){return 1ll*u.x*v.x+1ll*u.y*v.y;}
        friend llong cross(const Vector &u,const Vector &v){return 1ll*u.x*v.y-1ll*u.y*v.x;}
        double len()const{return sqrt(square(x)+square(y));}
    };
    struct Point{
        int x,y;
        Point(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){}
        Vector operator -(const Point &v)const{return Vector(x-v.x,y-v.y);}
        Point operator +(const Vector &v)const{return Point(x+v.x,y+v.y);}
        friend llong distPoint2(const Point &u,const Point &v){return square(u.x-v.x)+square(u.y-v.y);}
    };
    struct Line{
        Point p;Vector d;
        Line(){}
        Line(Point _p,Vector _d):p(_p),d(_d){}
        Line(Point s,Point t):p(s),d(t-s){}
    };
    //1=left / 0=on / -1=right
    int fixSide(const Point &s,const Point &t,const Point now){
        return sgn(cross(t-s,now-s));
    }
    bool cmpPointToX(const Point &u,const Point &v){
        return sgn(u.x-v.x)? sgn(u.x-v.x)<0:sgn(u.y-v.y)<0;
    }
    bool cmpPointToY(const Point &u,const Point &v){
        return sgn(u.y-v.y)? sgn(u.y-v.y)<0:sgn(u.x-v.x)<0;
    }
    void buildConvex(Point *org,int n,Point *res,int &nres){
        nres=0;
        sort(org,org+n,cmpPointToX);
        for(int i=0;i<n;i++){
            while(nres>1 && fixSide(res[nres-2],res[nres-1],org[i])<=0) nres--;
            res[nres++]=org[i];
        }
        int tmp=nres;
        for(int i=n-2;~i;i--){
            while(nres>tmp && fixSide(res[nres-2],res[nres-1],org[i])<=0) nres--;
            res[nres++]=org[i];
        }
        nres--;
    }
    void modelizeConvex(Point *org,int n){
        int it=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
            if(cmpPointToY(org[i],org[it]))
                it=i;
        rotate(org,org+it,org+n);
    }
    void Minkowski(Point *pa,int na,Point *pb,int nb,Point *res,int &nres){
        //把凸包的左下角固定为凸包的第一个元素
        modelizeConvex(pa,na),modelizeConvex(pb,nb);
        pa[na]=pa[0],pb[nb]=pb[0];
        int ma=0,mb=0;nres=0;
        Point now=Point(pa[0].x+pb[0].x,pa[0].y+pb[0].y);
        res[nres++]=now;
        while(ma<na && mb<nb){
            int re=sgn(cross(pa[ma+1]-pa[ma],pb[mb+1]-pb[mb]));
            //如果两条边极角相同，则一起平移
            //这样可以使得到的点都是凸包的顶点
            if(!re) now=now+(pa[ma+1]-pa[ma])+(pb[mb+1]-pb[mb]),ma++,mb++;
            else if(re>0) now=now+(pa[ma+1]-pa[ma]),ma++;
            else now=now+(pb[mb+1]-pb[mb]),mb++;
            res[nres++]=now;
        }
        while(ma<na){
            now=now+(pa[ma+1]-pa[ma]),ma++;
            res[nres++]=now;
        }
        while(mb<nb){
            now=now+(pb[mb+1]-pb[mb]),mb++;
            res[nres++]=now;
        }
        nres--;
    }
}
using namespace GEO;

const int N=1e5+10;

int nA,nB,nply,cas,mA,mB;
Point ply[N<<1],covA[N<<1],covB[N];

bool ifFarthar(const Point &u,const Point &v){
    return distPoint2(ply[0],u)<distPoint2(ply[0],v);
}
bool ifOutside(const Point &it){
    //有可能点不位于射线之间，先特判掉
    if(fixSide(ply[0],ply[1],it)<0 || fixSide(ply[0],ply[nply-1],it)>0) return true;
    if(fixSide(ply[0],ply[1],it)==0) return ifFarthar(ply[1],it);
    if(fixSide(ply[0],ply[nply-1],it)==0) return ifFarthar(ply[nply-1],it);
    Vector vit=it-ply[0];
    int lef=1,rig=nply-1;
    while(lef+1<rig){
        //用叉积判断点在射线哪边
        int mid=(lef+rig)>>1,re=sgn(cross(ply[mid]-ply[0],vit));
        //点在射线上
        if(!re) return ifFarthar(ply[mid],it);
        if(re<0) rig=mid;
        else lef=mid;
    }
    //判断点在线段哪一侧
    int re=sgn(cross(ply[lef]-it,ply[rig]-it));
    return re<0;
}
int main(){
    // freopen("input.in","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&nA,&nB,&cas);
    for(int i=0;i<nA;i++) scanf("%d%d",&ply[i].x,&ply[i].y);
    //先对 A,B 求凸包
    buildConvex(ply,nA,covA,mA);
    for(int i=0;i<nB;i++){
        scanf("%d%d",&ply[i].x,&ply[i].y);
        ply[i].x*=-1,ply[i].y*=-1;
    }
    buildConvex(ply,nB,covB,mB);
    //求出闵可夫斯基和
    Minkowski(covA,mA,covB,mB,ply,nply);
    for(int t=1;t<=cas;t++){
        Point mov;scanf("%d%d",&mov.x,&mov.y);
        //判断点是否在凸包内
        printf("%d
",!ifOutside(mov));
    }
    return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

[egin{split} “ &夢のなかを歩きまわる\ &quadsmall{ “能一直走在梦想之中}\ &夜空を仰いで 星になるの ”\ &quadsmall{仰望星空 成为星星 ”}\ \ “ &夢のなかを歩きまわる\ &quadsmall{能一直走在梦想之中}\ “ &夜空の星になるの ”\ &quadsmall{成为夜空中的星星 ”}\ ——& ext{《余命3日少女(Cover)》By 米白} end{split} ]

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