为什么这几天想要写博客呢？
因为感觉自己也没有几天了，现在多写一些至少证明自己涉足过OI这个领域
# 题面
若记 (a,b) 的「NIM积」为 (aodot b)，则有以下性质：
- 对于任意正整数 (k)，数集 (A_k={xmid xinmathbb{N},x<2^{2^k}}) 满足 (forall x,yin A_k,xodot yin A_k)（运算在 (A_k) 内封闭）；
- (aodot 1=a)（单位元）；
- (aodot 0=0)（零元）；
- (aodot b=bodot a)（交换律）；
- ((aodot b)odot c=aodot(bodot c))（结合律）；
- (aodot(botimes c)=(aodot b)otimes(bodot c))，其中 (otimes) 是按位异或（分配律）；
记 (a^{odot b}=overbrace{aodot aodot aodotcdotsodot a}^{b个})。给定 (a,b) 求解方程：
多组询问，每次给定 (a,b)。数据规模：(a,b< 2^{64})，数据组数不超过 (100)。
# 解析
不是很清楚「NIM积」的一些技巧，所以此篇不涉及「NIM积」计算的优化。
另外本篇中极有可能有不严谨的地方 ╯︿╰ 希望各位能指出
记数集 (A={xmid xin[1,2^{64}),xinmathbb{N}^+})。（注意排除了 (0)）
根据NIM积的上述性质，可以推断 ((A,odot)) 是乘法群（满足封闭性、结合律、有单位元和逆元）。以下简记「NIM积」为「乘法」。
群的大小（数集的大小为）记为 (F=2^{64}-1)，则有 (forall ain A,a^F=1)（可以类比整数模 (n) 乘法群）。
回过头来看题目给定的问题
是一个离散对数的经典模型。但是数集大小 (F) 太大，并不能 (O(sqrt F)) 用 BSGS 暴力求解。
观察到 (F) 并非素数，实际上质因数分解得到
这些质因子都不大，考虑能否对单个质因子求解，然后得到原问题的答案。
比如对质因子 (p) 单独求解。不妨设 (x=kp+r)，则：
经过下列推导（注意 (pmid F)）：
上述方程有两个未知数 (k,r)。但是因为 (a^F=1)，有
类似的，定义 (a) 的阶 ({ m ord} a) 为满足 (a^k=1) 的最小正整数 (k)，则
- ({ m ord} amid F)，显然有 ({ m ord} ale F)；
- 若 (kmid F)，则 ({ m ord} a^k=frac{{ m ord} a}{k})。
因此 ({ m ord} a^{frac{F}{p}}=frac{p}{F}{ m ord} ale p)。也就是说，如果 (Big(a^{frac{F}{p}}Big)^{r}=b^{frac{F}{p}}) 的解 (r) 存在，那么必然存在特解 (r=r_0)，(r_0le p)。
(p) 较小，可以直接 BSGS (O(sqrt{p})) 的复杂度内求解。
解出 (r) 后，有：
(a^{-r}=a^{F-r})，类似于费马小定理求逆元。于是转化为子问题，(a'=a^p)，(b'=bcdot a^{-r})，求解未知数 (k)。
记对第 (i) 个质因子执行上述过程后得到的方程是
其中 (k_i) 是未知数。于是有 (a_i=a_{i-1}^{p_i},b_i=b_{i-1}cdot a^{-r_i})，(k_i=k_{i+1}p_{i+1}+r_{i+1})。
对每个质因子都做一次上述过程后，最后我们会得到一个关于 (k_7) 的方程 (a_7^{k_7}=b_7)。这个方程如何求解？
实际上这个方程不需要求解——(a_7=a^{p_1p_2cdots p_7}=a^F=1)，此时若 (b_7=1)，则有无穷解，取朴素解 (k_7=1)；若 (b_7 eq1)，则无解。
然后 (k_i=k_{i+1}p_{i+1}+r_{i+1}) 往回代，代出 (k_1)，然后得到 (x=k_1p_1+r_1)。
# 源代码
/*Lucky_Glass*/
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long llong;
typedef unsigned long long ullong;
#define con(type) const type &
template<class T>inline T rin(T &r){
int b=1,c=getchar();r=0;
while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
return r*=b;
}
template<class T>inline void wri(con(T)r){
if(r<10) putchar(char('0'+r));
else wri(r/10),putchar(char('0'+r%10));
}
const int PRES[]={3,5,17,257,641,65537,6700417};
const int SQRPRES[]={2,3,5,17,26,257,2589};
const ullong CONF=18446744073709551615ull;
int ncas;
ullong varr[10];
int nontag[10];
// 摘自 Freopen 的博客 https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/107669351
ullong nim[256][256];
ullong nimMul(ullong a,ullong b,ullong L=64){ // L
if(a <= 1 || b <= 1) return a * b;
if(a < 256 && b < 256 && nim[a][b]) return nim[a][b];
/*
X = 2 ^ L , L = 2 ^ p
([a / X]X + a%X) * ([b / X]X + b%X)
c = a % X , d = b % X
*/
ullong S = (1ull << L) - 1;
if(a <= S && b <= S) return nimMul(a,b,L>>1);
ullong A = nimMul(a>>L,b>>L,L>>1) , B = nimMul((a>>L)^(a&S),(b>>L)^(b&S),L>>1) , C = nimMul(a&S,b&S,L>>1);
S++;
ullong r = nimMul(A,S>>1,L>>1) ^ (S * (C^B)) ^ C;
if(a < 256 && b < 256) nim[a][b] = r;
return r;
}
ullong nimPow(ullong a,ullong b){
ullong r=1;
while(b){
if(b&1) r=nimMul(a,r);
a=nimMul(a,a),b>>=1;
}
return r;
}
int solve(con(ullong)a,con(ullong)b,con(int)conp,con(int)consqr){
ullong x=nimPow(a,CONF/conp),y=nimPow(b,CONF/conp);
map<ullong,int> mem;
ullong tmp=y;
for(int i=0;i<=consqr;i++,tmp=nimMul(tmp,x))
if(!mem.count(tmp))
mem[tmp]=i;
tmp=1;
ullong tmp_per=nimPow(x,consqr);
for(int i=0;i<=consqr;i++,tmp=nimMul(tmp,tmp_per))
if(mem.count(tmp) && i*consqr>=mem[tmp])
return i*consqr-mem[tmp];
return -1;
}
int main(){
// freopen("input.in","r",stdin);
rin(ncas);
while(ncas--){
ullong a,b;
rin(a),rin(b);
bool fai=false;
memset(nontag,false,sizeof nontag);
for(int i=0;i<7;i++){
int res=solve(a,b,PRES[i],SQRPRES[i]);
if(res==-2){
nontag[i]=true;
continue;
}
if(res==-1){
fai=true;
break;
}
varr[i]=res;
ullong _b=nimMul(b,nimPow(a,CONF-res)),_a=nimPow(a,PRES[i]);
a=_a,b=_b;
}
if(a!=b || nimMul(a,a)!=b) fai=true;
if(fai) printf("-1
");
else{
ullong x=0,mod=1;
for(int i=6;~i;i--){
if(nontag[i]) continue;
mod*=PRES[i];
x=x*PRES[i]+varr[i];
if(x<0) x+=mod;
}
wri(x),putchar('
');
}
}
return 0;
}