「SOL」开关(LOJ)

并不套路的概率生成函数

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# 题面

(n) 个开关初始是关闭的，当某一些开关打开而另一些开关关闭时可以开门。

随机改变开关的状态——每次有 (frac{p_i}{sum p}) 的概率更改开关 (i) 的状态。求期望操作多少次第一次打开门。

数据规模：(p_ige1,sum ple10^5)。

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# 解析

- P1. 一些函数的定义

可以拆解成每一个开关最后要变成指定的状态。

记 (sum p_i=P)。由于对于同一个开关来说，操作是无序的，应用 EGF，设 (F_i(x)) 是「开关 (i) 操作 (j) 次的概率 ((frac{p_i}{P})^j)」的 EGF。

• 若 (i) 要求最后关闭，则操作偶数次：
  [F_i(x)=sum_{j=0}frac{(frac{p_i}{P})^{2j}x^{2j}}{(2j)!}=frac{e^{frac{p_i}{P}x}+e^{-frac{p_i}{P}x}}{2} ]

• 同理，若要求最后打开，操作奇数次：
  [F_i(x)=frac{e^{frac{p_i}{P}x}-e^{-frac{p_i}{P}x}}{2} ]

从概率生成函数的角度考虑，要求期望，则设对应随机变量的概率——设 (f_i) 为「操作 (i) 次打开门」的概率，对应的 OGF 为 (F(x))（普通概率生成函数才有 (E(X)=F'(1))）。

先不管 OGF 怎么求，难道答案就是 (F'(1)) 了吗？注意到 (f_i) 只表示「操作 (i) 次打开了门」而并不是题目要求的「第一次打开门」。

设 (g_i) 表示操作了 (i) 次后，所有开关的状态恰好不变的概率，也即操作了每个开关偶数次，记其 OGF 为 (G(x))。

最后设出 (h_i) 表示「操作 (i) 次后第一次打开门」的概率，其 OGF 为 (H(x))，那么 (H'(1)) 才是我们真正要求的答案。根据实际意义可以推得

[H(x)G(x)=F(x)Rightarrow H(x)=frac{F(x)}{G(x)} ]

但是我们现在将 (F_i(x)) 全部乘起来只能得到 (f_i) 的 EGF，记为 (R(x))：

[R(x)=prod_{i=1}^nF_i(x) ]

同理，我们也只能快速得到 (g_i) 的 EGF 的表达式，记为 (W(x))：

[W(x)=prod_{i=1}^nfrac{e^{frac{p_i}{P}x}+e^{-frac{p_i}{P}x}}{2} ]

考虑如何把 EGF 转成 OGF。

- P2. EGF to OGF

注意到 (R(x)) 和 (W(x)) 的形式是类似的。

不难发现 (R(x)) 可以表示成如下形式（(W(x)) 也可以，下面只通过 (R(x)) 举例）：

[R(x)=sum_{i}a_ie^{frac{i}{P}x} ]

只需要把 (F_i(x)) 当成一对大小为 (p_i) 和 (-p_i) 的物品做一次 (mathcal{O}(nP)) 的背包即可求出 (a_i)。

而知道了 (a_i) 我们就可以较为方便地求出其 OGF (F(x))：

[egin{aligned} F(x)&=sum_{k=0}^{+infty}k!x^k[x^k]R(x)\ &=sum_{k=0}^{+infty}k!x^k[x^k]sum_{j}a_je^{frac{j}{P}x}\ &=sum_{k=0}^{+infty}k!x^ksum_{j}a_jfrac{(frac{j}{P})^k}{k!}\ &=sum_{j}a_jsum_{k=0}^{+infty}left(frac{jx}{P} ight)^k\ &=sum_{j}frac{a_j}{1-frac{jx}{P}} end{aligned} ]

上式的 (j) 的取值根据背包可知应为 ([-P,P])。

- P3. 求导

根据之前的推导，我们已经可以求得 OGF (F(x),G(x))，而最终目标

[H(x)=frac{F(x)}{G(x)} ]

对其求导并代入 (x=1) 可以得到答案：

[egin{aligned} &H'(x)=frac{F'(x)G(x)-G'(x)F(x)}{G^2(x)}\ Rightarrow&H'(1)=frac{F'(1)G(1)-G'(1)F(1)}{G^2(1)} end{aligned} ]

注意 (F(x),G(x)) 都不涵盖所有可能情况，所以 (F(1) eq1,G(1) eq1)。

但是稍微细心一些，我们发现 (F(x)) 和 (G(x)) 在 (1) 处很有可能不收敛——在 P2 中求出的式子：

[F(x)=sum_{j}frac{a_j}{1-frac{jx}{P}} ]

若 (a_P eq 0)，有 (j=P) 时 (F(x)) 在 (1) 处不收敛；(G(x)) 同理。

正无穷除以正无穷？洛必达

考虑 (H(x)=frac{F(x)}{G(x)}) 分子分母同时乘以 ((1-x))，或者说 (F(x)) 和 (G(x)) 的表达式同时乘以 ((1-x))，可以消去不收敛的项。

又因为 (H(x)) 是一个形式幂级数，(x) 能取什么值并不重要，所以这样的操作是可以的。

乘上 ((1-x)) 后，注意导函数在 (x=1) 处的取值会变成相反数。

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# 源代码

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

inline int rin(int &r){
	int b=1,c=getchar();r=0;
	while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
	while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
	return r*=b;
}

const int N=105,M=5e4+10,MOD=998244353;
#define con(type) const type &

inline int add(con(int)a,con(int)b){return a+b>=MOD?a+b-MOD:a+b;}
inline int sub(con(int)a,con(int)b){return a-b<0?a-b+MOD:a-b;}
inline int mul(con(int)a,con(int)b){return int(1ll*a*b%MOD);}
inline int ina_pow(con(int)a,con(int)b){return b?mul(ina_pow(mul(a,a),b>>1),(b&1)?a:1):1;}
inline int inv(con(int)k){return ina_pow(k,MOD-2);}

int n,sump;
int ars[N],arp[N],f[2][M<<1],g[2][M<<1];

int main(){
	const int INV2=ina_pow(2,MOD-2);
	rin(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) rin(ars[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) sump+=rin(arp[i]);
	f[0][sump]=g[0][sump]=1;
	for(int i=1,now=0;i<=n;now+=arp[i],i++){
		int I=i&1,J=!I;
		fill(f[I]+(sump-now-arp[i]),f[I]+(sump+now+arp[i])+1,0);
		fill(g[I]+(sump-now-arp[i]),g[I]+(sump+now+arp[i])+1,0);
		int *fI=f[I]+sump,*fJ=f[J]+sump,*gI=g[I]+sump,*gJ=g[J]+sump;
		for(int j=-now;j<=now;j++){
			int val=mul(INV2,fJ[j]);
			fI[j+arp[i]]=add(fI[j+arp[i]],val);
			if(ars[i]) fI[j-arp[i]]=sub(fI[j-arp[i]],val);
			else fI[j-arp[i]]=add(fI[j-arp[i]],val);
			val=mul(INV2,gJ[j]);
			gI[j+arp[i]]=add(gI[j+arp[i]],val);
			gI[j-arp[i]]=add(gI[j-arp[i]],val);
		}
	}
	int *fi=f[n&1]+sump,*gi=g[n&1]+sump;
	int invs=ina_pow(sump,MOD-2),f0=fi[sump],g0=gi[sump],f1=0,g1=0;
	for(int i=-sump;i<=sump;i++){
		int ii=i<0? i+MOD:i,tmp=inv(sub(mul(ii,invs),1));
		f1=add(f1,mul(fi[i],tmp));
		g1=add(g1,mul(gi[i],tmp));
	}
	printf("%d
",mul(sub(mul(f1,g0),mul(g1,f0)),inv(mul(g0,g0))));
	return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

如若是狂风雪雨
亦或碧空如洗
此生百转千回阴晴只得由你
挥毫执墨笔 把你记作曲
也许 此中音律抚琴为君高歌一曲

——《琴弦上(vocaloid)》By 乐正绫/赤羽/星葵

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