「NOTE」支配树

理性愉悦(×)在线自闭(√)（和析合树有得一拼）
感谢大神的博客：Meowww~（本文的证明思路同上博客）

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# 概念

支配树是建立在单源有向图上的有根树。单源有向图又被称为“流程图”，其特点除了有向，还有存在一个源点使得源点可以到达任意一个点。

在流程图上定义支配关系，设源点为 (r)：如果 (r) 到 (v) 的每一条路径都经过了 (u)，则 (u) 支配 (v)。

非常显然的，对于 (v)（(v eq r)） 来说，有两个平凡的支配点 (v,r)，一般来说都不会考虑 (v) 本身作为 (v) 的支配点。但是我们知道，往往是其他不平凡的支配点比较重要。

定义1-最近支配点

对于一个点 (v)（(v eq r)），如果 (u) 是 (v) 的一个支配点，并且任意一个 (v) 的支配点都支配 (u)，则称 (u) 为 (v) 的最近支配点；记作 (operatorname{idom}(v)=u)。

定理一

对于点 (v)，存在唯一的 (operatorname{idom}(v))。

首先支配关系具有一定的“传递性”，即如果 (a) 支配 (b)、(b) 支配 (c) 则 (a) 支配 (c)。则可以证明：

推论1

如果 (a) 支配 (c)、(b) 支配 (c)，则 (a) 支配 (b) 或 (b) 支配 (a)。否则存在 (r) 经过 (b) 到达 (v) 的路径不经过 (a)，与 (a) 支配 (c) 矛盾。

那么有且仅有一个 (v) 的支配点支配 (v) 的所有支配点，即 (operatorname{idom}(v))。

那么将 (operatorname{idom}(v)) 作为 (v) 的父亲，可以获得一棵有根树，称为支配树。

接下来会介绍 Lengauer-Tarjan 算法，在 (O(nlog n)) 时间复杂度内求出支配树，进而获得支配关系。

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# 一些记号

先从流程图的源点出发DFS整张流程图，得到DFS树以及对应的DFS序。DFS树上有 4 种边：树边，前向边，后向边和横插边

注意到横插边只会从右边的子树指向左边的子树，因此前向边和树边都是从低DFS序指向高DFS序，后向边和横插边就反过来。

• (u o v)，表示 (u) 到 (v) 的一条有向边；
• (uleadsto v)，表示存在 (u) 到 (v) 的一条路径；
• (uoverset . o v) 表示 (u) 到 (v) 的一条只经过树边的路径；
• (uoverset+ o v) 表示 (uoverset. o v) 且 (u eq v)；
• (dfn_u) 表示 (u) 的 DFS 序；
• 以下所有「点的大小比较」都是指 DFS 序进行比较。

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# 理论证明

引理一（路径引理）

若 (dfn_ule dfn_v) 则 (u) 到 (v) 的路径必经过 (u,v) 的公共祖先。

要么 (v) 是 (u) 的后继，要么 (v) 是 (u) 的更右边的子树中的点。

• 对于第一种情况，(u) 就是公共祖先，必须经过；
• 对于第二种情况，考虑删去 (u,v) 的 LCA 到 (r) 的所有点（也就是删去所有公共祖先），此时不可能通过树边从 (u) 的子树到达 (v) 的子树；
  另外前向边、后向边都不跨子树，而横插边只从右边的子树指向左边的子树，于是不存在向右跨越子树的边，不可能到达。

由于并不好计算 (operatorname{idom}(u))，所以考虑引入一些定义来辅助计算——

定义2-半支配点

点 (v) 满足：存在路径 (P=vleadsto u)，且 (P) 上除去 (u,v) 两点不存在 dfn 比 (u) 小的点。

满足上述条件的最小的点 (v) 称为 (u) 的半支配点，记作 (operatorname{sdom}(u))。

形式化的定义为：

[operatorname{sdom}(u)=minleft{v| exists vleadsto u=(v,a_1,a_2,dots,a_m,u),a_i< u ight} ]

注意到 (operatorname{sdom}(u)) 并不一定是 (u) 的一个支配点，比如下图：

(v) 是 (u) 的半支配点但是显然不支配 (u)。

但是 (operatorname{sdom}(u)) 是有潜力成为支配点的点，在之后的证明中我们会看到任何一个点的 (operatorname{idom}(u)) 要么是 (operatorname{sdom}(u))，要么是另一个点的 (operatorname{sdom}(v))。

而且我们发现 (operatorname{sdom}(u)lt u)（(u eq r)），因为 (fa(u)) 一定是 (u) 的半支配点的「候选」。

引理二

对于任意 (u eq r)，有 (operatorname{idom}(u)overset+ o u) 且 (operatorname{sdom}(u)overset+ o u)。

如果 (operatorname{idom}(u)) 不是 (u) 的祖先，那么 (r) 就可以直接经过树边到达 (u)，就与 (operatorname{idom}(u)) 支配 (u) 矛盾。

如果 (operatorname{sdom}(u)) 不是 (u) 的祖先：

• 首先，(operatorname{sdom}(u)) 不可能是右边的子树或者 (u) 的后继，因为 (operatorname{sdom}(u)<u)，那么只能是左边的子树；
• 根据路径引理，从 dfn 小的点到大的点必然经过公共祖先，而 (u) 和 (operatorname{sdom}(u)) 的公共祖先一定比 (u) 小，违背了 (operatorname{sdom}(u)) 的定义。

引理三

对于任意 (u eq r)，有 (operatorname{idom}(u)overset. o operatorname{sdom}(u))。

考虑反证。根据引理二，(operatorname{sdom}(u)) 和 (operatorname{idom}(u)) 都是 (u) 的祖先。所以如果引理三不成立，则 (operatorname{sdom}(u)overset+ o operatorname{idom}(u))。

因为 (operatorname{sdom}(u)) 可以不经过比 (u) 小的点到达 (u)，即可以不经过 (operatorname{idom}(u))，则存在 (roverset. o operatorname{sdom}(u)leadsto u) 不经过 (operatorname{idom}(u))，矛盾。

引理四

对于点 (w)，任意 (voverset. o w) 满足 (voverset. o operatorname{idom}(w)) 或 (operatorname{idom}(w)overset. o operatorname{idom}(v))。

由引理二，可以推得 (operatorname{idom}(w),operatorname{idom}(v),w,v) 是在 (roverset{.}{ o}w) 上的。

仍然考虑反证。此时相反情况只有 (operatorname{idom(v)}overset{+}{ o}operatorname{idom}(w)overset{.}{ o}voverset{.}{ o}w)，比如下面这样：

其中 (A,B) 分别为 (operatorname{idom}(v),operatorname{idom}(w))，注意到 (operatorname{idom}(v) eqoperatorname{idom}(w))，故必然存在 (operatorname{idom}(v)leadsto v) 不经过 (operatorname{idom}(w))。于是存在路径 (roverset{.}{ o}operatorname{idom}(v)leadsto voverset{.}{ o}w)，不经过 (operatorname{idom}(w))，矛盾。

完备的引理是对定理的铺垫~

定理二

对于 (u eq r)，若所有满足 (operatorname{sdom}(u)overset+ o voverset. o u) 的点 (v) 都满足 (operatorname{sdom}(v)ge operatorname{sdom}(u))，则 (operatorname{idom}(u)=operatorname{sdom}(u))。

这个定理就让 (operatorname{idom}(u)) 和 (operatorname{sdom}(u)) 有联系了~

由引理三，我们知道 (operatorname{idom}(u)overset. o operatorname{sdom}(u))，则只需证明 (operatorname{sdom}(u)) 支配 u。考虑反证，假设 (operatorname{sdom}(u)) 不支配 u，则存在 (rleadsto u) 不经过 (operatorname{sdom}(u))。

记该路径为 (P=rleadsto u)。令 (x) 为 (P) 上最后一个 (xltoperatorname{sdom}(u)) 的点。

则 (xleadsto u) 上一定存在点 (y_0) 满足 (operatorname{sdom}(u)overset. o y_0overset+ o u)（(y_0) 在 (operatorname{sdom}(u)) 和 (u) 之间的链上），否则 (x) 就会成为 (operatorname{sdom}(u))。记所有满足条件的点 (y_0) 中最小的一个为 (y)。

若 (y eq operatorname{sdom}(u))，由定理二得：(operatorname{sdom}(y)ge operatorname{sdom}(u))。

说明 (P) 上还有一个点 (z) 满足 (zlt y)，否则 (x) 将成为 (operatorname{sdom}(y))。那么有 (zlt ylt u)，但是 (y) 是 (P) 上最小的 (ylt u) 的点，产生矛盾。

则 (y=operatorname{sdom}(u))，因此 (P) 一定经过 (operatorname{sdom}(u))，即 (operatorname{sdom}(u)) 支配 (u)。

定理三

对于 (w eq r)，若存在 (u_0) 满足 (operatorname{sdom}(w)overset+ o u_0overset+ o w) 使得 (operatorname{sdom}(u_0)ltoperatorname{sdom}(w))；

记 (operatorname{sdom}(u_0)) 最小的 (u_0) 为 (u)，则 (operatorname{idom}(u)=operatorname{idom}(w))。

相当于是对定理二的补充。大概是这样一个图：

考虑 (operatorname{idom}(u)) 和 (operatorname{idom}(w)) 的位置。

• 首先 (operatorname{idom}(w)overset{.}{ o}operatorname{sdom}(w)) 且 (operatorname{idom}(u)overset{.}{ o}operatorname{sdom}(u))（引理三）；
• 由引理四，因为 (uoverset{.}{ o}w)，且不存在 (uoverset{.}{ o}operatorname{idom}(w))，所以只能是 (operatorname{idom}(w)overset{.}{ o}operatorname{idom}(u))。

于是整个情形如下图：

只需要证明 (operatorname{idom}(u)) 支配 (w)。考虑证明非平凡情况：(operatorname{idom}(u) eq r)。

任意取一条路径 (P=rleadsto w)，令 (P) 中最后一个小于 (operatorname{idom}(u)) 的点为 (x)。则存在 (y_0) 使得 (operatorname{idom}(u)overset. o y_0overset+ o w)，我们取最小的 (y_0) 作为 (y)。

因为 (y) 是满足条件的最小点，所以不存在 (v) 使得 (operatorname{idom}(u)overset. o voverset+ o y)。于是 (x) 是 (operatorname{sdom}(y)) 的「候选」，(operatorname{sdom}(y)le xltoperatorname{idom}(u)leoperatorname{sdom}(w))。

若 (operatorname{sdom}(w)overset{+}{ o}yoverset{+}{ o}w)，则 (y) 可以作为定理中的 (u_0)，而 (operatorname{sdom}(y)le xltoperatorname{sdom}(u))，与 (u) 是 (operatorname{sdom}(u_0)) 最小的 (u_0) 矛盾。

因此 (operatorname{idom}(u)overset{.}{ o}yoverset{.}{ o}operatorname{sdom}(w))。

此时，如果 (y eqoperatorname{idom}(u))，则存在 (roverset{.}{ o}xleadsto yoverset{.}{ o}u) 不经过 (operatorname{idom}(u))，矛盾。故 (y=operatorname{idom}(u))。

因此任意路径 (P) 都经过 (operatorname{idom}(u))，即 (operatorname{idom}(u)) 支配 (w)。

得证，(operatorname{idom}(u)=operatorname{idom}(w))。

推论2

对于 (w eq r)，令 (u) 为 (operatorname{sdom}(w)overset+ o uoverset. o w) 中 (operatorname{sdom}(u)) 最小的，则有：

[operatorname{idom}(w)=egin{cases}operatorname{sdom}(w)&operatorname{sdom}(u)ge operatorname{sdom}(w)\operatorname{idom}(u)&operatorname{sdom}(u)< operatorname{sdom}(w)end{cases} ]

其实就是定理二三的综合。

最后只剩下如何求 (operatorname{sdom}(w))。

定理四

对于 (w eq r)，(operatorname{sdom}(w)) 只可能是下面两种情况

1. 存在边 (v o w)，(operatorname{sdom}(w)=v)；

2. 点 (u) 满足 (uoverset{.}{ o}v o w)，其中 (vgt w)，(operatorname{sdom}(w)=operatorname{sdom}(u))。

形式化地：

[operatorname{sdom}(w)=min{{v|(v,w)in E}cup{operatorname{sdom}(u)|u>w,exists(v,w)in E,uoverset. o v}} ]

显然两种情况都满足了 (operatorname{sdom}(w)) 的定义，只要证明 (operatorname{sdom}(w)) 一定符合两种情况之一：

1. (operatorname{sdom}(w)leadsto w) 只有一条边，对应第一个种情况；
2. (operatorname{sdom}(w)leadsto w) 大于一条边，对应第二种情况，记第二种情况中 (operatorname{sdom}(u)) 的最小值为 (k)；则 (operatorname{sdom}(w)le k)。
   记 (P=operatorname{sdom}(w)leadsto w) 上 (operatorname{sdom}(w)) 以外的最小的点为 (y)。那么 (operatorname{sdom}(w)leadsto y) 上除去 (operatorname{sdom}(w), y) 的所有点都大于 (y)，也即 (operatorname{sdom}(w)) 是 (operatorname{sdom}(y)) 的「候选」。
   根据描述，(y) 符合第二种情况中 (u) 的定义，则 (kleoperatorname{sdom}(y))。
   而 (operatorname{sdom}(y)leoperatorname{sdom}(w))，所以 (kleoperatorname{sdom}(w))。
   综上 (operatorname{sdom}(w)=k)。

得证。

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# Lengauer-Tarjan

有了上述定理作为基础，Lengauer-Tarjan算法就被设计出来，以 (O(nlog n)) 的复杂度计算 (operatorname{idom}(u),operatorname{sdom}(u))。

算法流程大概如下：

1. 先DFS一遍，求一个DFS树，然后初始化 (operatorname{sdom}(u)=u)（为了方便……）；

2. 根据定理四，按dfn从大到小枚举 (w)，计算 (operatorname{sdom}(w))（在每次计算前，(gt w) 的 (operatorname{sdom}()) 已经计算好了）：
   枚举连向 (w) 的点 (u)，计算 (u) 沿着 (fa(u)) 往上爬到第一个dfn小于 (w) 的点，这条路径上最小的 (operatorname{sdom}())。
   当然我们不会直接枚举 (fa(u)) 向上跳，需要用带权并查集维护有根树结构——每次计算完 (operatorname{sdom}(w))，就把 (w) 在并查集中连向 (fa(w))，并查集用路径压缩，压缩时更新路径上最小的 (operatorname{sdom}(u)) 对应的 (u)（详见代码）。

3. 当我们计算完 (operatorname{sdom}(w)) 时，在并查集上 (w) 的子树上所有点一定都连向了 (fa(w))，因此可以枚举 (operatorname{sdom}(u)) 为 (fa(w)) 的点 (u)，根据推论2，用带权并查集求出 (u) 到 (operatorname{sdom}(u)) 的路径上最小的 (operatorname{sdom}(v)) 对应的 (v)，若 (operatorname{sdom}(v)<operatorname{sdom}(u))，则给 (operatorname{idom}(u)) 打上“(v) 的标记”，表示 (operatorname{idom}(u)=operatorname{idom}(v))，否则直接 (operatorname{idom}(u)=operatorname{sdom}(u))。

4. 最后再扫一遍 (operatorname{idom}(u))，把有标记 (v) 的 (operatorname{idom}(u)) 的值赋值为 (operatorname{idom}(v))。

Hint. 因为我们时常要取一个点的dfn做大小比较，写代码的时候注意变量到底代表的是dfn还是一个点本身。

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# 源代码

> 洛谷 P5180

对应题目P5180【模板】支配树

/*Lucky_Glass*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10, M = 3e5 + 10;
#define con(typ) const typ &

struct Graph {
	int head[N], to[M], nxt[M], ncnt;
	void addEdge(con(int) u, con(int) v) {
		int p = ++ncnt;
		to[p] = v, nxt[p] = head[u];
		head[u] = p;
	}
	inline int operator [] (con(int) u) {return head[u];}
} gr, rg, bin;


int n, m, ndfn;
int dfn[N], idfn[N], sdom[N], idom[N], fa[N], ans[N], deg[N];

struct Dsu {
	int fa[N], val[N];
	void init(con(int) siz) {for (int i = 1; i <= siz; i++) val[i] = fa[i] = i;}
	int findF(con(int) u) {
		if ( u == fa[u] ) return u;
		int ret = findF(fa[u]);
		if ( sdom[val[fa[u]]] < sdom[val[u]] ) val[u] = val[fa[u]];
		return fa[u] = ret;
	}
	bool combine(int u, int v) {
		u = findF(u), v = findF(v);
		if ( u == v ) return false;
		fa[u] = v;
		return true;
	}
	int getVal(con(int) u) {findF(u); return val[u];}
} dsu;

inline int rin(int &r) {
	int b = 1, c = getchar(); r = 0;
	while ( c < '0' || '9' < c ) b = c == '-' ? -1 : b, c = getchar();
	while ( '0' <= c && c <= '9' ) r = (r * 10) + (c ^ '0'), c = getchar();
	return r *= b;
}
void dfs(con(int) u) {
	idfn[sdom[u] = dfn[u] = ++ndfn] = u;
	for (int it = gr[u]; it; it = gr.nxt[it])
		if ( !dfn[gr.to[it]] )
			fa[gr.to[it]] = u, dfs(gr.to[it]);
}
int main() {
	rin(n), rin(m);
	for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
		rin(u), rin(v);
		gr.addEdge(u, v), rg.addEdge(v, u);
	}
	dfs(1);
	dsu.init(n);
	for (int i = ndfn; i >= 2; i--) {
		int u = idfn[i];
		for (int it = rg[u]; it; it = rg.nxt[it])
			if ( dfn[rg.to[it]] )
				sdom[u] = min(sdom[u], sdom[dsu.getVal(rg.to[it])]);
		bin.addEdge(idfn[sdom[u]], u);
		dsu.combine(u, fa[u]);
		for (int it = bin[fa[u]]; it; it = bin.nxt[it]) {
			int w = bin.to[it], uu = dsu.getVal(w);
			if ( sdom[uu] == sdom[w] ) idom[w] = idfn[sdom[w]];
			else idom[w] = -uu; // tag
		}
		bin.head[fa[u]] = 0;
	}
	queue<int> que;
	for (int i = 2; i <= ndfn; i++) {
		int u = idfn[i];
		if ( idom[u] < 0 ) idom[u] = idom[-idom[u]];
//		printf("%d : %d
", u, idom[u]);
		deg[idom[u]]++;
	}
	for (int i = 1; i <= ndfn; i++)
		if ( !deg[idfn[i]] )
			que.push(idfn[i]);
	while ( !que.empty() ) {
		int u = que.front(); que.pop();
		ans[u]++;
		if ( u != 1 ) {
			ans[idom[u]] += ans[u];
			if ( !(--deg[idom[u]]) ) que.push(idom[u]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d%c", ans[i], i == n ? '
' : ' ');
	return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

只要极致 谁比我放肆
展开双翅 去奔跑 像个孩子
写下你的名字 在风中化成诗
再说一次 不在乎方式
哪怕重新开始 那也要坚持
别去拔你的刺 那是你最美丽的旗帜

——《奔赴》By 司南

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