【模板·II】树链剖分
学长给我讲树链剖分，然而我并没有听懂，还是自学有用……另外感谢一篇Blog +by 自为风月马前卒+
一、算法简述
树链剖分可以将一棵普通的多叉树转为线段树计算，不但可以实现对一棵子树的操作，还可以实现对两点之间路径的操作，或是求 LCA（看起来很高级）。
其实树链剖分不算什么特别高难的算法，它建立在 LCA、线段树、DFS序 的基础上（如果不了解这些算法的还是先把这些算法学懂再看树链剖分吧 QwQ）。又因为树链剖分的基础算法不难，树链剖分的题也逐渐被引入 OI 赛中。
不得不说，它的代码很长……尽管很多都是模板，但是还是必须理解清楚每一个模板的含义，不然容易混淆。
二、原理
（1）基本定义
重儿子：对于每一个非叶子节点u的儿子vi，若以vi为根的子树的节点数是u的所有儿子的子树的节点数中最大的，则 vi 是u的重儿子；
重边：对于每一个非叶子节点u，它与其重儿子的连边为重边；
重链：树中只包含重边的一条链，这里我们把单个元素也看成重链；
轻儿子：非重儿子的节点；轻边：非重边；
举个例子：
（2）简单定理
- 重链的起点一定是轻点；
- 一条轻边一定连接重链上的一点和另一条重链的起点（重链的起点算入重链）；
- 任何节点都只属于一条重链；
- 除了叶子节点，其他所有点一定有重儿子；
（3）计算重儿子
siz[u]： 以u节点为根的子树的节点数量（包含u）；
dep[u]：u的深度（根节点深度为1）；
fa[u]：节点u的父亲，一般来说根节点父亲为0；
heavy[u]：u的重儿子，没有为0；
val[u]：u的点权；
（以上是我自己定义的名字，可能不太规范）
可以直接用一个DFS从根节点开始，用递归的方式求出每一棵子树的节点数，并找到有最大节点数的儿子，作为heavy[]，不要在意那些节点数相同的情况，如果出现，则只选取其中一个作为heavy[]就可以了。
具体如何实现？我还是奉上代码吧 @( ◕ x ◕ )@：
1 void DFS1(int u,int Fa,int Dep) 2 { 3 dep[u]=Dep;fa[u]=Fa; //更新深度、父节点 4 siz[u]=1; //将u本身计入siz 5 int MAX_siz=0; //最大子树大小 6 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 7 if(lnk[u][i]!=Fa) //避免重复错误 8 { 9 int v=lnk[u][i]; 10 DFS1(v,u,Dep+1); 11 siz[u]+=siz[v]; //统计大小 12 if(siz[v]>MAX_siz) 13 MAX_siz=siz[v],heavy[u]=v; //求重儿子 14 } 15 }
（4）计算DFN序以及重链
上一步的DFS1为求重链打下了基础。
新添几个定义： ID[u]：u的DFS序（或者可以叫dfn）；Top[u]：u所在的重链的起始点（即深度最小的点）；fval[x]：DFS序为x的点的点权；
这次DFS，我们需要改变搜索顺序，不能按输入顺序遍历点——先搜索重儿子，再搜索其它儿子，如果没有重儿子，说明是叶子节点，结束搜索后回溯。这样我们保证了对于每一个非叶子节点u和它的重儿子v，ID[u]和ID[v]是连续的，按照这个规律，我们可以发现，在同一条重链中，相邻元素的ID总是连续的。这是一个非常重要的性质，正因为有这个性质，我们可以应用线段树来计算（等会解释）。
举个例子吧：
如何求 Top[u] 呢？
我们可以通过下传参数实现——下传一个参数 topf ，表示当前节点属于的重链起始于 topf。我们优先访问u的重儿子v，即使优先访问u所在的重链，此时u、v仍然属于同一个重链，因此topf不变，可以下传。而当我们搜索u的其他儿子v时，相当于经过了一条轻边，因此我们就到达了另一条重链的起点（"简单定理"中第2条），所以将v作为topf继续下传。
1 void DFS2(int u,int topf) 2 { 3 ID[u]=++ID_cnt;fval[ID_cnt]=val[u]; //ID_cnt 就是当前的DFS序；同时给fval赋值 4 Top[u]=topf; 5 if(!heavy[u]) return; //叶子节点 6 DFS2(heavy[u],topf); 7 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 8 { 9 int v=lnk[u][i]; 10 if(ID[v]) continue; //避免访问重复 11 DFS2(v,v); //v是另一条重链的起点 12 } 13 }
（5）线段树
这才是重头戏……
线段树最明显的优点就是区间修改、区间查询，但是这一切的前提就是它修改、查询的是一个连续的区间！这就是为什么要让一条重链上的ID成为连续的一串。在这棵线段树上，区间是ID值，即我们储存的是连续一段ID值所包含的信息。
但是这仅仅是第一步……谁也不知道线段树的强大功能到底还有哪些……
◆ 修改、查询一棵子树
一个最简单的性质 —— 以u为根的子树中 DFS 序(ID)是连续的长度为siz[u]的序列。当我们知道 ID[u] 时，我们可以马上知道这棵子树中ID最大的节点ID为 (ID[u]+siz[u]-1)，又因为这是一个连续区间，线段树就可以发挥它的用途了！
以u为根的一棵子树在线段树上对应区间为 [ID[u],ID[u]+siz[u]-1]。
◆ 修改、查询从u到v的一条路径（当然也是唯一路径）
我们先分三种情况（在下面的描述中，dep[u]≤dep[v]）：
① u、v本来就在一条重链上
由于重链是连续一段，且 dep[u]≤dep[v] ，所以 u->v 是连续的区间 [ID[u],ID[v]] ，这样用线段树求解比较容易吧。
② u、v分别属于的重链之间隔了一条轻边
还记得之前的“简单定理”吗？既然两条重链隔了一条轻边，则该轻边一定连接了一条轻边的顶点 Top。不妨设 dep[Top[u]]≤dep[Top[v]] ，那么我们可以得到 fa[Top[v]] 属于 u 所在重链。就像求LCA一样，我们把v上移到 fa[Top[v]] ，又归属于情况①，而 v 上移的一段也是一条重链，这段重链所属区间为 [ID[Top[v]],ID[v]] （ID[Top[v]] ≤ ID[v]，因为Top[v]的深度一定小于等于v）。
这样答案就变成了两个区间 [ID[Top[v]],ID[v]] 和 [ID[fa[Top[v]]],ID[u]] 。
③ 普通情况
过程越发的像LCA了——我们的目的越发清晰——将u、v移动到同一条重链上。
我们不断的重复将点 x 做下列操作：
移动到 Top[x] -> 线段树区间处理 -> 移动到 fa[x] -> 移动到 Top[x]....
给一个伪代码把：
while(u,v不在同一个重链)
{
保证 Top[u]的深度>Top[v]的深度 //我们固定移动u，所以一定要让u移动后不会离v的重链越来越远
记录答案/修改区间 [ID[Top[u]],ID[u]]
u 移动到 fa[Top[u]]
}
//现在u、v在同一个重链了
转换为问题①
如何判断u、v是否属于同一个重链？还记得 Top吗？ 同一个重链上的点的 Top 一定相同啊，所以只需要判断 Top 是否相同就行了。 QwQ
举个例子模拟一下：
三、一道板板题 +洛谷 3384 树链剖分模板题+
就是两种问题——对子树以及对路径。大家可以看看代码，先熟悉一下……
1 /*Lucky_Glass*/ 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<vector> 6 using namespace std; 7 const int MAXN=int(1e5); 8 int n,t,rt,mod; 9 vector<int> lnk[MAXN+5]; 10 int val[MAXN+5]; 11 int dep[MAXN+5],fa[MAXN+5],heavy[MAXN+5],siz[MAXN+5]; 12 void DFS1(int u,int Fa,int Dep) 13 { 14 dep[u]=Dep;fa[u]=Fa; //更新深度、父节点 15 siz[u]=1; //将u本身计入siz 16 int MAX_siz=0; //最大子树大小 17 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 18 if(lnk[u][i]!=Fa) //避免重复错误 19 { 20 int v=lnk[u][i]; 21 DFS1(v,u,Dep+1); 22 siz[u]+=siz[v]; //统计大小 23 if(siz[v]>MAX_siz) 24 MAX_siz=siz[v],heavy[u]=v; //求重儿子 25 } 26 } 27 int ID[MAXN+5],fval[MAXN+5],Top[MAXN+5],ID_cnt; 28 void DFS2(int u,int topf) 29 { 30 ID[u]=++ID_cnt;fval[ID_cnt]=val[u]; //ID_cnt 就是当前的DFS序；同时给fval赋值 31 Top[u]=topf; 32 if(!heavy[u]) return; //叶子节点 33 DFS2(heavy[u],topf); 34 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 35 { 36 int v=lnk[u][i]; 37 if(ID[v]) continue; //避免访问重复 38 DFS2(v,v); //v是另一条重链的起点 39 } 40 } 41 struct TREE{ 42 int l,r,val,siz,lazy; 43 TREE(){} 44 TREE(int fl,int fr){ 45 l=fl,r=fr;siz=r-l+1,lazy=0; 46 } 47 }tree[MAXN*4+5]; 48 //上传更新总和 49 void Update(int x){tree[x].val=((tree[x<<1].val+tree[x<<1|1].val)%mod+mod)%mod;} 50 //下传懒标记 51 void PushDown(int x) 52 { 53 tree[x<<1].val=(tree[x<<1].val+tree[x<<1].siz*tree[x].lazy)%mod; 54 tree[x<<1|1].val=(tree[x<<1|1].val+tree[x<<1|1].siz*tree[x].lazy)%mod; 55 tree[x<<1].lazy=(tree[x<<1].lazy+tree[x].lazy)%mod; 56 tree[x<<1|1].lazy=(tree[x<<1|1].lazy+tree[x].lazy)%mod; 57 tree[x].lazy=0; 58 } 59 //构造线段树 60 void Build(int l,int r,int x) 61 { 62 tree[x]=TREE(l,r); 63 if(l==r) {tree[x].val=fval[l];return;} 64 int mid=(l+r)>>1; 65 Build(l,mid,x<<1); 66 Build(mid+1,r,x<<1|1); 67 Update(x); 68 } 69 //给[L,R]的每个元素加上add 70 void Add(int L,int R,int add,int x) 71 { 72 if(L>tree[x].r || R<tree[x].l) return; 73 if(L<=tree[x].l && tree[x].r<=R) 74 { 75 tree[x].val+=tree[x].siz*add; 76 tree[x].lazy+=add; 77 return; 78 } 79 PushDown(x); 80 Add(L,R,add,x<<1); 81 Add(L,R,add,x<<1|1); 82 Update(x); 83 } 84 //求[L,R]中元素的和 85 int Sum(int x,int L,int R) 86 { 87 if(L>tree[x].r || R<tree[x].l) 88 return 0; 89 if(L<=tree[x].l && tree[x].r<=R) 90 return tree[x].val; 91 PushDown(x); 92 return (Sum(x<<1,L,R)+Sum(x<<1|1,L,R))%mod; 93 } 94 //求路径 u->v 的总和 95 int Road(int u,int v) 96 { 97 int ret=0; 98 while(Top[u]!=Top[v]) 99 { 100 if(dep[Top[u]]<dep[Top[v]]) swap(u,v); //保证Top[u]在Top[v]下 101 ret=(ret+Sum(1,ID[Top[u]],ID[u]))%mod; //更新答案 102 u=fa[Top[u]]; //移动u 103 }//此时u,v应该属于同一条重链了 104 if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v); 105 ret=(ret+Sum(1,ID[u],ID[v]))%mod; //同一重链中计算 106 return ret; 107 } 108 //修改路径 u->v 109 void Insert(int u,int v,int add) 110 { 111 while(Top[u]!=Top[v]) 112 { 113 if(dep[Top[u]]<dep[Top[v]]) swap(u,v); 114 Add(ID[Top[u]],ID[u],add,1); //利用线段树修改一段重链 115 u=fa[Top[u]]; 116 } 117 if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v); 118 Add(ID[u],ID[v],add,1); //最后一段u->v 119 } 120 int main() 121 { 122 scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&rt,&mod); 123 for(int i=1;i<=n;i++) 124 scanf("%d",&val[i]); 125 for(int i=1;i<n;i++) 126 { 127 int u,v;scanf("%d%d",&u,&v); 128 lnk[u].push_back(v);lnk[v].push_back(u); 129 } 130 DFS1(rt,0,1); 131 DFS2(rt,rt); 132 Build(1,n,1); 133 while(t--) 134 { 135 int cmd;scanf("%d",&cmd); 136 int x,y,z; 137 switch(cmd) 138 { 139 case 1: scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);Insert(x,y,z%mod);break; 140 case 2: scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d ",Road(x,y));break; 141 case 3: scanf("%d%d",&x,&y);Add(ID[x],ID[x]+siz[x]-1,y%mod,1);break; 142 case 4: scanf("%d",&x);printf("%d ",Sum(1,ID[x],ID[x]+siz[x]-1));break; 143 } 144 } 145 return 0; 146 }
(补充：某dalao嫌我写的太少了 Orz)
四、奇怪的区间操作 +BZOJ 2243 染色+
还记得最初写线段树的时候，有一类题是修改区间颜色，然后查询一个区间中颜色段的数量。这就涉及到如果两个相邻区间的边缘颜色相同，则它们的边缘颜色将合并为一个，这个时候就需要把总区间的颜色段个数减一（比如区间[l,r]，若[l,mid]的颜色段数量为a，[mid+1,r]的颜色段数量为b，但是mid颜色和mid+1颜色相同，则[l,r]颜色段数量为 a+b-1）。现在又在树链剖分有缘重逢……
现在查询的不是一个区间了，而是一个路径！按照之前的思路，我们可以把路径拆成多个重链，也就是多个区间，这就产生了一个问题——如何判断相邻区间的左右端点颜色是否相同？
于是……一个美妙的想法从我的脑间闪过——改变函数返回值！
之前的线段树查询都只是返回一个int的答案，但这次我返回了答案以及答案对应区间的左右端点颜色（用struct打包一下），这样我就可以判断左右端点颜色是否一样了！！(o^^o)♪
最后注意一下当查询的路径的两个端点已经移动到同一条重链上时，要判断该重链的两端点是否与之前的颜色相同，及时删减答案！
源代码
1 /*Lucky_Glass*/ 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<vector> 6 using namespace std; 7 const int MAXN=int(1e5); 8 int n,m; 9 int col[MAXN+5],dep[MAXN+5],fa[MAXN+5],siz[MAXN+5],hvy[MAXN+5],ID[MAXN+5],top[MAXN+5],typ[MAXN+5]; 10 //col 原节点颜色，dep 深度，fa 父亲，siz 子树大小，hvy[u] u的重儿子，ID[u] u的编号（DFS序，用于线段树），top[u] u所在重链的起点，typ[x] ID为x的节点的颜色 11 vector<int> lnk[MAXN+5]; 12 void DFS1(int u,int _fa,int _dep) 13 { 14 fa[u]=_fa;dep[u]=_dep;siz[u]=1; //更新父亲，深度，子树大小初始化为1（因为根节点也算入大小） 15 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 16 { 17 int v=lnk[u][i]; 18 if(v==_fa) continue; 19 DFS1(v,u,_dep+1); 20 siz[u]+=siz[v]; 21 if(siz[hvy[u]]<siz[v]) //求得重儿子 22 hvy[u]=v; 23 } 24 } 25 int ID_cnt; 26 void DFS2(int u,int _top) 27 { 28 ID[u]=++ID_cnt;top[u]=_top;typ[ID[u]]=col[u]; 29 if(!hvy[u]) return; //没有根节点的节点是叶子节点 30 DFS2(hvy[u],_top); //同一条重链 31 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 32 { 33 int v=lnk[u][i]; 34 if(ID[v]) continue; 35 DFS2(v,v); //另一条重链的起点 36 } 37 } 38 struct TREE{ 39 int l,r,lc,rc,tot,col; 40 //左右端点，左右端点颜色，颜色段总数，区间颜色（不为纯色值为-1） 41 }tree[MAXN*5+5]; 42 void Update(int u) //上传参数 43 { 44 tree[u].lc=tree[u<<1].lc; 45 tree[u].rc=tree[u<<1|1].rc; 46 tree[u].tot=tree[u<<1].tot+tree[u<<1|1].tot-(int)(tree[u<<1].rc==tree[u<<1|1].lc); 47 if(tree[u<<1].col==tree[u<<1|1].col && tree[u<<1].col!=-1) 48 tree[u].col=tree[u<<1].col; 49 else 50 tree[u].col=-1; 51 } 52 void Build(int L,int R,int u) //构建线段树 53 { 54 tree[u].l=L;tree[u].r=R; 55 if(L==R) {tree[u].lc=tree[u].rc=tree[u].col=typ[L];tree[u].tot=1;return;} 56 int mid=(L+R)>>1; 57 Build(L,mid,u<<1);Build(mid+1,R,u<<1|1); 58 Update(u); 59 } 60 void PushDown(int u) //下传懒标记 61 { 62 if(tree[u].col==-1) return; 63 tree[u<<1].lc=tree[u<<1].rc=tree[u<<1].col=tree[u].col; 64 tree[u<<1|1].lc=tree[u<<1|1].rc=tree[u<<1|1].col=tree[u].col; 65 tree[u<<1].tot=tree[u<<1|1].tot=1; 66 tree[u].col=-1; 67 } 68 void Modify(int L,int R,int val,int u) //修改区间[L,R]为val 69 { 70 if(tree[u].r<L || R<tree[u].l) return; 71 if(L<=tree[u].l && tree[u].r<=R) 72 { 73 tree[u].lc=tree[u].rc=tree[u].col=val; 74 tree[u].tot=1; 75 return; 76 } 77 PushDown(u); 78 Modify(L,R,val,u<<1); 79 Modify(L,R,val,u<<1|1); 80 Update(u); 81 } 82 void ModifyRoad(int u,int v,int val) //修改路径u->v为val 83 { 84 while(top[u]!=top[v]) 85 { 86 if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v); 87 Modify(ID[top[u]],ID[u],val,1); 88 u=fa[top[u]]; 89 } 90 if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v); 91 Modify(ID[v],ID[u],val,1); 92 } 93 struct RETURN{ 94 int lc,rc,tot; //左右端点颜色，颜色段数量 95 RETURN(){} 96 RETURN(int _lc,int _rc,int _tot) 97 { 98 lc=_lc;rc=_rc;tot=_tot; 99 } 100 }; 101 RETURN Query(int L,int R,int u) //查询区间[L,R]颜色段数量 102 { 103 if(tree[u].r<L || R<tree[u].l) return RETURN(-1,-1,0); 104 if(L<=tree[u].l && tree[u].r<=R) 105 return RETURN(tree[u].lc,tree[u].rc,tree[u].tot); 106 PushDown(u); //*************************************必须有这一步 107 RETURN resl=Query(L,R,u<<1), 108 resr=Query(L,R,u<<1|1); 109 RETURN ret; 110 ret.tot=resl.tot+resr.tot; 111 if(resl.rc==resr.lc) ret.tot--; //合并 112 if(!resl.tot) ret.lc=resr.lc,ret.rc=resr.rc; 113 else if(!resr.tot) ret.lc=resl.lc,ret.rc=resl.rc; 114 else ret.lc=resl.lc,ret.rc=resr.rc; 115 Update(u); 116 return ret; 117 } 118 int QueryRoad(int u,int v) //查询路径u->v 119 { 120 int cu=-1,cv=-1,ret=0; 121 while(top[u]!=top[v]) 122 { 123 if(dep[top[u]]>dep[top[v]]) 124 { 125 RETURN res=Query(ID[top[u]],ID[u],1); 126 ret+=res.tot; 127 if(res.rc==cu) ret--; 128 cu=res.lc; 129 u=fa[top[u]]; 130 } 131 else 132 { 133 RETURN res=Query(ID[top[v]],ID[v],1); 134 ret+=res.tot; 135 if(res.rc==cv) ret--; 136 cv=res.lc; 137 v=fa[top[v]]; 138 } 139 } 140 if(dep[u]>dep[v]) 141 { 142 RETURN res=Query(ID[v],ID[u],1); 143 ret+=res.tot; 144 if(res.lc==cv) ret--; //判断两端点 145 if(res.rc==cu) ret--; 146 } 147 else 148 { 149 RETURN res=Query(ID[u],ID[v],1); 150 ret+=res.tot; 151 if(res.lc==cu) ret--; 152 if(res.rc==cv) ret--; 153 } 154 return ret; 155 } 156 int main() 157 { 158 scanf("%d%d",&n,&m); 159 for(int i=1;i<=n;i++) 160 scanf("%d",&col[i]),col[i]++; //由于输入颜色有0,强制转换为正整数 161 siz[0]=-1; //重儿子hvy数组的初始值是0，而为0时，siz[0]<0，就可以转换到其他的节点！ 162 for(int i=1,u,v;i<n;i++) 163 scanf("%d%d",&u,&v), 164 lnk[u].push_back(v), 165 lnk[v].push_back(u); 166 DFS1(1,0,1); 167 DFS2(1,1); 168 Build(1,n,1); 169 while(m--) 170 { 171 int u,v,x;char cmd[2]=""; 172 scanf("%s%d%d",cmd,&u,&v); 173 if(cmd[0]=='C') scanf("%d",&x),x++,ModifyRoad(u,v,x); 174 else printf("%d ",QueryRoad(u,v)); 175 } 176 return 0; 177 }
The End
Thanks for reading!
- Lucky_Glass