hdu 1395 2^x mod n = 1

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1395

　　数论的题目，这题是可以直接暴力搜出来的，不过正解应该是Baby-Step-Giant-Step（以下简称BSGS）。

下面的解释只适用于底数与模互质，其他情况是不能解出正确答案的。正确的BSGS解法在之后两篇中有介绍！

　　其实BSGS的原理十分简单，就是将被搜索的数分解成i * (sqrt(m) + 1) + j（m是等式中的模）的形式，先求出1~(srqt(m) + 1)的所有mod m的余数，这个步骤因为跨越的区间小，所以这叫Baby-Step。然后就是Giant-Step，每次跳跃。如果借助hash函数，在exgcd求逆模以后，就可以直接O(1)查找是否有满足要求的Baby-Step。如果是用map映射，那么就是O(logn)的复杂度查找。于是整体的复杂度就是O(n)或者O(nlongn)，其中n是sqrt(m) + 1。

下面是原创代码，giantStep函数可以解p^x mod m = rest形式的方程的：

/*
 * Author: Lyon
 * Problem: hdu 1395
 * Method: Baby-Step Giant-Step
 */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
map<int, int> index;

bool babyStep(int p, int mod, int &r, int rest){
    int cur = 1;

    r = (int) sqrt((double) mod) + 1;
    index.clear();
    for (int i = 1; i <= r; i++){
        cur *= p;
        cur %= mod;
        if (cur == rest){
            r = i;
            return  true;
        }
        index[cur] = i;
    }

    return false;
}

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d, int rest){
    if (b){
        exgcd(b, a % b, y, x, d, rest);
        y -= x * (a / b);
    }
    else{
        d = a;
        x = rest;
        y = 0;
    }
}

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int multiMod(int a, int b, int m){
    int ret = 0;

    while (b){
        if (b & 1) ret += a, ret %= m;
        a <<= 1;
        a %= m;
        b >>= 1;
    }

    return ret;
}

int powMod(int p, int n, int m){
    int ret = 1;

    p %= m;
    while (n){
        if (n & 1){
            ret = multiMod(ret, p, m);
        }
        p = multiMod(p, p, m);
        n >>= 1;
    }

    return ret;
}

int giantStep(int p, int mod, int rest){ // calculate p^x % mod = rest
    int r, x, y, d;

    if (rest % gcd(p, mod)) return -1;
    if (babyStep(p, mod, r, rest)){
        return r;
    }
    else{
        int tmp = powMod(p, r, mod);
        int ep = tmp;

        for (int i = 1; i <= r; i++){
            exgcd(ep, mod, x, y, d, rest);
            while (x >= 0) x -= mod;
            while (x < 0) x += mod;
            if (index.count(x)){
                return i * r + index[x];
            }
            ep = multiMod(ep, tmp, mod);
        }
    }

    return -1;
}

int main(){
    int n;

    while (~scanf("%d", &n)){
        if (n == 1){
            puts("2^? mod 1 = 1");
            continue;
        }

        int ans = giantStep(2, n, 1);

        if (~ans){
            printf("2^%d mod %d = 1\n", ans, n);
        }
        else printf("2^? mod %d = 1\n", n);
    }

    return 0;
}

——written by Lyon