POJ2195 Going Home 最小权值匹配

题意：给定一个网格图，图上有一些人要到一些房子当中去，人和房子的数量一样多，人和房子的曼哈顿距离作为行走的开销，问所有人走到房子中的最小开销。

解法：将人和房子之间两两之间建立带权边，权值为曼哈顿距离的相反数，这样问题就转化为最大权值匹配问题。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int N, M, iM, iH;
int w[105][105];        // 记录边权 
int match[105];            // 保留匹配边 
int lx[105], ly[105];    // 记录顶点可行标 
int sx[105], sy[105];    // 标记顶点是否在交错树中 
int slack[105];            // 松弛函数，用于保留交错树中Y部节点的最小d值 
char mp[105][105];        // 保留原始图形 

struct Node {
    int x, y;    
}nM[105], nH[105];

void build() {
    memset(w, 0, sizeof (w)); // 该题中不可能出现距离为0的情况，添加负号后所有权值都将小于0 
    for (int i = 1; i < iM; ++i) { // iM == iH
        for (int j = 1; j < iM; ++j) { // 通过添加负号将最小权值匹配转化为最大权值匹配
            w[i][j] = -abs(nM[i].x - nH[j].x)-abs(nM[i].y - nH[j].y);
        }
    }
}

int path(int u) {
    sx[u] = 1; // S集合中添加元素
    for (int i = 1; i < iM; ++i) {
        if (sy[i]) continue;
        int t = lx[u]+ly[i] - w[u][i];
        if (!t) { // 如果该边属于等价子图中的边
            sy[i] = 1; // T集合中添加元素
            if (!match[i] || path(match[i])) {
                match[i] = u;
                return 1;
            }
        } else { // 没有被加入到T集合中，并且与u顶点无法增广 
            slack[i] = min(slack[i], t);
        }
    }
    return 0;
}

int KM() {
    // 首先初始化可行标
    memset(ly, 0, sizeof (ly));
    memset(lx, 0x80, sizeof (lx));
    for (int i = 1; i < iM; ++i) {
        for (int j = 1; j < iM; ++j) {
            lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);
            // 取所有边中权值最大的边作为该顶点的可行标值
        }
    }
    memset(match, 0, sizeof (match));
    for (int i = 1; i < iM; ++i) { // 针对每一个顶点进行一次增广，如果无法完成就通过修改可行标来完成 
        for (int j = 1; j < iM; ++j) {
            slack[j] = INF;
        }
        while (1) {
            memset(sx, 0, sizeof (sx));
            memset(sy, 0, sizeof (sy));
            if (path(i)) break;
            int d = INF;
            for (int j = 1; j < iM; ++j) {
                if (!sy[j]) d = min(d, slack[j]);    
            } 
            for (int j = 1; j < iM; ++j) {
                if (sx[j]) lx[j] -= d;
            }
            for (int j = 1; j < iM; ++j) {
                if (sy[j]) ly[j] += d;
                else slack[j] -= d;
            }
        }
    }
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i < iM; ++i) {
        ret += w[match[i]][i];
    }
    return -ret;
}

int main() {
    while (scanf("%d %d", &N, &M), N|M) {
        iM = iH = 1;
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            scanf("%s", mp[i]);
            for (int j = 0; j < M; ++j) {
                if (mp[i][j] == 'm') {
                    nM[iM].x = i, nM[iM++].y = j;
                } else if (mp[i][j] == 'H') {
                    nH[iH].x = i, nH[iH++].y = j;
                }
            }
        }
        build();
        printf("%d\n", KM());
    }
    return 0;    
}