codeforces 300E Empire Strikes Back 数论+二分查找

题意：给定N个数a1,a2,a3...aN，现在要求最小的n满足 n!/(a1!*a2!*...*aN!) 是一个正整数的最小的n。

分析：这题的想法很明确，就是分解a1!*a2!*...*aN!，把其分解成质因子相乘的形式，这个都很熟悉了，然后就是对每一个质因子二分搜索出一个数字下界，最后求其中最大的一个数，问题的关键就是如何分解这样一个表达式成一个质因子相乘的形式。使用一个cnt数组来表示每一个数的在乘积中出现的次数，然后从后往前假设一个数出现了k次，那么如果这个数是素数则不用更新，如果一个数是合数则将其分解成两部分，一个是该数最小的质因子，一个是除以这个质因子之后的值，接着一直做下去，就能够把所有的素因子全部统计起来，最后再对每一个素因子都二分搜索。

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 10000005;
vector<int>vv;
LL cnt[N];
int p[N];
int Max;
LL sum;
int n;

void pre() {
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        if (!p[i]) {
            p[i] = i;
            vv.push_back(i);
        }
        for (int j = 0; i*vv[j] < N; ++j) {
            p[i*vv[j]] = vv[j];
            if (i % vv[j] == 0) break;
        }
    }
}

LL cal(LL mid, LL base) {
    LL ret = 0;
    while (mid) {
        ret += (mid /= base);
    }
    return ret;
}

void deal() {
    for (int i = Max; i >= 2; --i) {
        if (p[i] != i) {
            cnt[p[i]] += cnt[i];
            cnt[i/p[i]] += cnt[i];
        }
    }
}

LL get(LL base, LL x) {
    LL l = 1, r = sum;
    LL ret;
    while (l <= r) {
        LL mid = (l + r) >> 1;
        if (cal(mid, base) >= x) {
            ret = mid;
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return ret;
}

int main() {
    pre();
    scanf("%d", &n);
    int x;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", &x);
        sum += x;
        Max = max(Max, x);
        ++cnt[x];
    }
    for (int i = Max-1; i >= 2; --i) {
        cnt[i] += cnt[i+1];
    } // 模拟阶乘，1-n之间每个数都有一个 
    deal();
    LL ret = 1;
    for (int i = 0; i < vv.size(); ++i) {
        ret = max(ret, get(vv[i], cnt[vv[i]]));
    }
    printf("%I64d
", ret);
    return 0;
}