Project Euler 613 Pythagorean Ant（概率+积分）

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题目大意：

给你一只蚂蚁，它在一个 边长为 (30-40-50) 的直角三角形((x,y))上，并且它在直角三角形中选择的位置和移动方向的概率都是相等的。问你这只蚂蚁在最长的边上走出去的概率是多少？

###注意：以下是题目的解析。


###如果你想要享受做数学题的乐趣就不要看下面了啦。(╯￣Д￣)╯╘═╛ (其实看了也无所谓...)

简要题解：

我们假设蚂蚁在 $ A(x,y) $ 点。

枚举一下题意，画一下图...( 随手画的...丑了点...)

我们可以得到：

(alpha=arctan(frac{x}{40-y}))

(alpha+eta=arctan(frac{30-x}{y}))

(eta=arctan(frac{30-x}{y})-arctan(frac{x}{40-y}))

( heta=pi-left(arctan(frac{30-x}{y})-arctan(frac{x}{40-y}) ight))

(f(x,y)=frac{ heta}{2pi}=frac{1}{2}-frac{1}{2pi}*left(arctan(frac{30-x}{y})-arctan(frac{x}{40-y}) ight))

最后积分一下，所以概率就为：

(ans = frac{1}{600}*int_0^{30}int_0^{40-frac{40x}{30}}left[frac{1}{2}-frac{1}{2pi}*left(arctan(frac{30-x}{y})-arctan(frac{x}{40-y}) ight) ight]\,mathrm{d}xmathrm{d}y)

直接用 (mma) ，就很愉快地拿到了(rank) (7)th啦。