快速排序的最优时间复杂度是 (O(nlogn))，最差时间复杂度是 (O(n^2))，期望时间复杂度是 (O(nlogn))。
这里我们证明一下快排的期望时间复杂度。
设 (T(n)) 为对长度为 (n) 的序列进行快速排序所需要的期望时间。我们有：
$$T(0) = 0$$
以及： $$T(n) = n + frac{1}{n}sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$
我们可以通过放缩来获得对 (T(n)) 上界的一个估计。
[T(n) = n + frac{1}{n}sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))
]
[= n + frac{2}{n}sum_{i=frac{2}{n}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))
]
[= n + frac{2}{n}sum_{i=frac{2}{n}}^{frac{3n}{4}}(T(i) + T(n - i - 1)) + frac{2}{n}sum_{i=frac{3n}{4}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))
]
因为 (T(n) >= n) , 所以对于 (frac{n}{2} <= i <= j)，我们显然有：
[T(i) + T(n - i) <= T(j) + T(n - j)
]
所以：
[T(n) <= n + frac{2}{n}sum_{i=frac{2}{n}}^{frac{3n}{4}}(T(frac{3n}{4}) + T(frac{n}{4})) + frac{2}{n}sum_{i=frac{3n}{4}}^{n-1}(T(n - 1) + T(0))
]
[<= n + frac{1}{2}(T(frac{3n}{4}) + T(frac{n}{4})) + frac{1}{2}T(n-1)
]