螺旋矩阵O(1)根据坐标求值

传送门

洛谷2239

•题意

从矩阵的左上角（第11行第11列）出发，初始时向右移动；

如果前方是未曾经过的格子，则继续前进，否则右转；

重复上述操作直至经过矩阵中所有格子。

根据经过顺序，在格子中依次填入$1,2,3...n$ 构成一个螺旋矩阵

现给出矩阵大小$n$以及$i$和$j$，请你求出该矩阵中$(i,j)$的数是多少。

•思路

这里主要是记录一下$O(1)$的想法，为了防止忘记着重记录一下

①计算圈数：

可以把整个矩阵从中心分成四份，分别是左上，右上，左下，右下

可以把其他三个小矩阵对称到左上矩阵去，

为什么是左上矩阵呢，因为从(1,1)开始使得其$x,y$坐标符合 $min(x,y)=$圈数

得出圈数后根据圈数找位置就比较轻松了

容易发现

第1圈数字个数    第2圈数字个数     第3圈数字个数　　...　　第$x$圈数字个数

$4(n-1)$　　　　$4(n-3)$　　　　$4(n-5)$     　  ...　  $4(n-2x+1)$

再观察每一圈第一个位置

$(1,1) , (2,2) , (3,3),....$

可以观察到每一圈的前$1/2$个(上半部分) 随着螺旋矩阵后一个数，$(x+y)$增加$1$，如图

所以在上半部分第$q$圈第$num$个也就是从$1$到$(i,j)$个的值,

因为圈数是等差数列，所以利用等差数列求和公式可以得到

前面有外面的圈数+这一圈的$num=y+x-2*q+1$个数

就是 $frac{(4(n-1)+4(n-2(q-1)+1))(q-1)}{2}+num$

在下部分随着螺旋矩阵方向,$(x+y)$逐渐减$1$,

所以，前$q-1$圈的总数+$num=$第$q$圈$-(x+y-2*q)+1$

就是$frac{(4(n-1)+4(n-2q+1))q}{2}-num$

•代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+5;
int main()
{
    int n,x,y;
    while(cin>>n>>x>>y)
    {
        int q=min(min(x,y),min(n-x+1,n-y+1));///圈数

        int num;
        if(x==y==q)
            num=1;
        else if(y>x)///上半部分
            num=y+x-2*q+1;
        else///下半部分 
            num=4*(n-2*q+1)-(x+y-2*q)+1;
        cout<<2*((n-1)+(n-2*(q-1)+1))*(q-1)+num<<endl;
    }
}