动态规划算法

概念

• 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
• 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
• 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
• 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

问题描述

解决思路

  *算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。
 *则我们有下面的结果：
 * 1. v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
 * 2.当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]   // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
 * 3.当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}  当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
    装入的方式:
 *4.v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
 *5.v[i] : 表示当前商品的价值 
 *6.v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
 *7.当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} : 

代码实现

    /**
     * @param worth       价值数组 wotrh[i] 第i个物品的价值
     * @param weight      重量数组 weight[i] 第i个物品的重量
     * @param totalWeight 背包总的承重
     */
    public static void knapsackProblem(int[] worth, int[] weight, int totalWeight) {
        //1. 初始化数组 data[i][j] 前i个物品能装入容量为j的背包
        int[][] data = new int[worth.length + 1][totalWeight + 1];
        //1.1 路径数组
        int[][] path = new int[worth.length + 1][totalWeight + 1];

        //2.给数组复制 i 行 j 列
        for (int i = 0; i < data.length; i++) {
            for (int j = 0; j < data[i].length; j++) {
                // 2.1 i=0 表示0个物品 j=0 表示j 容量为0
                if (i == 0 || j == 0) {
                    data[i][j] = 0;
                    //2.2 weight[i] >j 表示 第i个物品的重量大于背包总载重
                } else if (weight[i - 1] > j) {
                    data[i][j] = data[i - 1][j];
                    // 2.3 weight[i] ,j 表示 第i个物品的重量小于于背包总载重
                } else {
                    int previous = data[i - 1][j];
                    int current = worth[i - 1] + data[i - 1][j - weight[i - 1]];
                    if (current > previous) {
                        data[i][j] = current;
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        data[i][j] = previous;
                    }
                }
            }
        }
        for (int[] datum : data) {
            System.out.println(Arrays.toString(datum));
        }
        for (int[] datum : path) {
            System.out.println(Arrays.toString(datum));
        }
        int i = path.length-1;
        int j = path[0].length-1;
        while (i>0&&j>0){
            if (path[i][j]==1){
                System.out.printf("第%d个商品放入背包
",i);
                j -= weight[i-1];
            }
            i--;
        }

    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] worth = {1500, 3000, 2000};
        int[] weight = {1, 4, 3};
        int totalWeight = 4;
        knapsackProblem(worth, weight, totalWeight);
    }