Streaming Principal Component Analysis in Noisy Settings

论文背景：

• 面对来袭的数据，连续样本不一定是不相关的，甚至不是同分布的。
• 当前，大部分在线PCA都只关注准确性，而忽视时效性！
• 噪声？数据缺失，观测有偏，重大异常？

论文内容：

Section 2

Online Settings
Online PCA, 就是在观察到(x1, x2, x3, dots, x_{t-1})后，“构造”一个(k-)维的子空间，通常用投影矩阵(P^{(t)})表示——为了最小化残差(|x_t - P^{(t)}|^2)
这篇论文重点在于界的分析，考虑下面的“遗憾”（大概就是误差的意思）：
(R(T,P) = mathop{sum}limits_{t=1}^{T}x_t^{ op}Px_t-mathop{sum}limits_{t=1}^{T}x_t^{ op}P^{(t)}x_t)
其中P为任意的rank-k的正交投影矩阵，T为迭代次数。
(R(T,P))的界是次线性的，所以，我们可以通过(frac{1}{T}R(T,P))来计算算法到达(varepsilon-)界所需的时间，从而衡量算法的优劣。
Matrix gradient descent (MGD)

1. 将非凸条件放松为凸条件：
   (C =lbrace P: Tr(P):=k, 0preceq P preceq I, P = P^{ op} brace)
2. (P^{t+1} = prod_F(P^{t} + eta g_t^{ op})) Here
3. 学习后的(P),不一定满足原来的凸条件（投影), 故:
   (hat{P}^{t} = rounding(P^{t}))

对于这个算法并不了解，姑且只能这么想了。点这里
下面是关于（遗憾）的一个界：

Stochastic Settings
在某些情况下，MGD算法复杂度比较高，所以，在额外的假设下，利用Oja的另外一种算法可能会比较有优势。
The additional assumption that (x_t) are sampled i.i.d. from some unknown distribution (D) and that (|x_t|leq1) almost surely.
最近已经有相关方面的论文指出，在(k=1)的条件下，这个算法也可以到达次线性。

Section 3 corrupted gradients
在这一节，论文讲关于梯度被“污染”的情形。
Online Setting
梯度被污染的原因：

1. 对于大数据不正确的运算
2. 分布式和并行运算中，异步和噪声通讯导致的误差
   此时的学习单位步长为：
   (hat{mathrm{g}}_t = x_tx_t^{ op}+E_t)

给出了下列定理：

Stochastic Setting

被污染的原因：数据被污染，设噪声向量为(y_t)，且与(x_t)独立。（k=1）
(hat{mathrm{g}}_t = (x_t + y_t)(x_t + y_t)^{ op})

Section 4 Missing Entries

这一章，讲矩阵缺失数据的情形。
假设(x_t)的每个元素将按照(q-Brtnoulli)分布被保留，否则缺失。

Online Setting

此时，学习步长又变为:
(hat{mathrm{g}}_t := hat{x}_that{x}_t^{ op} - z_tz_t^{ op})
论文中为上式取负，但更新(P)的时候又取负，所以我直接不变了。

有下面的界：

Stochastic Setting

在推导这个界的时候，似乎遇到了麻烦，新的迭代步长不能保证半正定，所以需要进行一个处理（因为证明都没看，所以不懂啊）。

给出了一个定理（k = 1）:

Section 5 Partial Observations

本节是讲观测偏差，(x_t)只有(r<d)个元素被观测到。

下面是对步长的分析与构造，但是，我对(z)的构造存疑，我觉得
(z = sqrt{frac{d^2-dr}{r-1}}widetilde{x}_{i_s}e_{i_s})

Online Setting

(hat{mathrm{g}}_t)同上

有下面的界:

Stochastic Setting

有下面的界(k=1):

Section 6 Robust streaming PCA

针对异常值，探讨如何使得算法变得“健壮”。

新的regret:

(R_{abs}(T) = mathop{sum}limits_{t=1}^{T}|x_t-P^{t}x_t|_2-mathop{inf}limits_{Pin P_k} mathop{sum}limits_{t=1}^{T}|x_t-Px_t|_2)
for any sequence (x_1,ldots,x_T in mathbb{R}^{d}).
新的:
(mathrm{g}_t=-frac{x_tx_t^{ op}(I-P^{(t)}) + (I-P^{(t)})x_tx_t^{ op}}{2|(I-P^{(t)})x_t|_2})
denote:
(y_t = (I-P^{(t)})x_t) and (c_t = frac{eta}{2|y_t|_2})
(P^(t+1) = prod_F(P^{t} + c_t(x_ty_t^{ op}+y_tx_t^{ op})))

从而有下面定理：