数值解这么走下去，却不好好弄弄关于线性方程组的求解，总感觉很别扭，既然《凸优化》也很详细地介绍了这一块东西，我就先跳过别的把这一块整一整吧。
容易求解的线性方程组
先讨论(Ax = b)很容易求解的情况，即(A)为满秩的方阵，方程有唯一的解。
对角矩阵
(a_{ii}x_i = b_i Rightarrow x_i = b_i / a_{ii}， a_{ii}
eq 0)
其中(a_{ij})为矩阵(A)的第(i)行，第(j)列元素，下同。
下三角矩阵
下三角矩阵，即(a_{ij}=0, j > i)
所以方程的解即为：
上三角矩阵
下三角矩阵采用的是前向代入算法，而上三角矩阵采用的是后向代入或者称为回代算法。情况，或者说推导是类似的，这里不多赘述。
正交矩阵
正交矩阵(A in mathbb{R}^{n imes n})的条件是(A^{T}A = I)，即(A^{-1}=A^T)，所以方程的解是(x = A^Tb)。如果(A)具有特殊的结构，可以进一步简化运算。
排列矩阵
令(pi = (pi_1, ldots,pi_n))为((1, 2, ldots, n))的一种排列。相应的排列矩阵(A in mathbb{R}^{n imes n})定义为：
于是可以得到：
排列矩阵的逆矩阵就是(A^T)，由此可知排列矩阵是正交矩阵。
因式分解求解方法
求解(Ax = b)的基本途径是将(A)表示为一系列非奇异矩阵的乘积：
因此：
我们可以从右往左一步一步地来求解。
求解多个右边项的方程组
假设我们需要求解方程组：
求解这m个问题等价于：
其中：
(mathrm{LU, Cholesky}) 和 (mathrm{LDL^T})因式分解
每一个非奇异分解(A in mathbb{R}^{n imes n})都可以因式分解为：
其中(P in mathbb{R}^{n imes n})是排列矩阵，(L in mathbb{R}^{n imes n})是单位下三角矩阵，而(U in mathbb{R}^{n imes n})是非奇异上三角矩阵。
Gauss消元法
我们定义(A_0 = A, A_1, A_2, ldots, A_{n-1})表示第(r)步消元后的系数矩阵。相应的，我们设计一个第(r)步消元的初等矩阵(N_r)，这个矩阵的除了第(r)列外，与单位矩阵无异，第(r)列为：
于是，(A_r = N_r A_{r-1})的(a_{jr}=0,j>r)，显然，如果顺利的话（因为可能出现(a_{rr}^{r-1}=0)的情况），进行(n-1)步消元后，矩阵就化为上三角矩阵了。
于是：
其中(N)为单位下三角矩阵（下三角矩阵的逆为下三角矩阵，下三角矩阵的乘积为下三角矩阵）。值得一提的是，如果这种分解存在，那么它是唯一的。另外，在《代数特征值问题》一书中，给出了(L和U)各个元素的显示表达式。
接下来，我们再讨论一下如何应对(a_{rr}^{r-1}=0)的情况。我们有一个最初的假设，即(A)是满秩的，虽然这个条件并非必要的（如果没有这个条件，那么就需要在最后判断是否有解）。
经过(r)步消元后（假设顺利进行了），那么(A_{n-r, r})为(0)矩阵，(A_{r,r})为上三角矩阵。现在，如果(A_{n-r, n-r})的首元素(a_{r+1, r+1})为0，而且(t = arg max {|a_{i,r+1}||i>r+1})。注意(a_{t, t+1}
eq 0)，否则就与我们的满秩条件相矛盾了。当然，如果撇去假设，真的出现了这种情况，我们只需让(N_{r+1}=I)即可，即跳过这一次。最后，我们这一次选择的变换是(N_{r+1}I_{r+1, t})。其中(I_{t+1, t})是指第(r+1)行与(t)行交换的初等矩阵。
为了便于说明，我们以(n=4)为例：
于是
这也是最开始的(A = PLU)的由来。(widetilde{N})是下三角矩阵的证明比较简单，这里便不给出证明了。另外值得说明的一点是，我们对于(t)的选择，这么选择的原因是出于数值的稳定性（保证(N_r)的元素的绝对值都小于(1)）
Cholesky 因式分解
如果(A in mathbb{R}^{n imes n})是对称正定矩阵，那么它可以因式分解为：
其中(L)是下三角非奇异矩阵，对角元素均为正数。这种分解可以看成(LU)分解的一种特例，不多赘述。
稀疏矩阵的Cholesky因式分解
当(A)是对称正定稀疏矩阵时，通常可以因式分解为：
举个例子便于理解：
其中(D = LL^T)，如果(D)为正对角矩阵，那么(L)的对角线元素便直接可以获得了。
(LDL^T) 因式分解
每个非奇异对称矩阵(A)都能因式分解为：
其中(P)是排列矩阵，(L)是对角均为正数的下三角矩阵，(D)是块对角矩阵，对角块为(1 imes 1)和(2 imes 2)的非奇异矩阵。
这地方就不做分析了，因为自己没怎么细看这部分过。
分块消元和Schur补
将(x in mathbb{R}^n)分成俩块：
其中(x_1 in mathbb{R}^{n_1},x_2 in mathbb{R}^{n_2})。
那么线性方程组可以这样表示：
其中(A_{11} in mathbb{R}^{n_1 imes n_1},A_{22} in mathbb{R}^{n_2 imes n_2})且假设(A_{11})可逆。
由第一个方程可以获得：
代入第二个方程可以得到：
注意到，(S = A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})即(A_{11})的Schur补。
由上面的启发，我们可以先计算(x_2)再计算(x_1)，虽然这种方法对于稠密的无结构矩阵而言没有什么优点，但如果要消去的变量对于的子矩阵容易因式分解，这种方法会很有效。
逆矩阵引理
分块消元法的想法是先消去部分变量，然后求解包含这些变量的Schur补的小方程组。同样的想法可以反向应用：如果讲某个矩阵视为Schur补，就可以引入新变量，然后形成并求解一个大方程组。很多情况下这样做没有好处，因为我们最终要求解一个更大的方程组。但是，如果所形成的大方程组具有可以利用的特殊结构，引入新变量就可能导致更加有效的求解方法。最经常利用的是可以从大方程组中消去另一部分变量的情况。
假设有下面的线性方程组：
其中(A in mathbb{R}^{n imes n})非奇异，(B in mathbb{R}^{n imes p}),(C in mathbb{R}^{p imes n})。我们引入新变量(y=Cx)，并将方程组重新写成
即：
注意到(A+BC)是大矩阵中(-I)的Schur补。容易看出，当(A,B,C)相当稀疏，而(A+BC)稀疏性很差的时候，解大方程组或许比原来的更加有效。
代码
import numpy as np
class LinearEqu: # 要求矩阵A为满秩方阵
def __init__(self, A, b):
self.m, self.n = A.shape
assert self.n == len(b), "the dimensions don't match"
assert self.m == self.n, "full-rank and row-column equal matrix required"
self.A = np.array(A, dtype=float)
self.b = np.array(b, dtype=float)
@property
def rank(self):
"""返回矩阵的秩"""
return np.linalg.matrix_rank(self.A)
@property
def extendrank(self):
"""返回[A, b]的秩"""
b = self.b.reshape(-1, 1)
return np.linalg.matrix_rank(np.hstack((self.A, b)))
@property
def diagonal(self):
assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
"""
下面这部分是对矩阵A对角性质的考察，但是想到，万一我只是希望利用一下
对角元素呢，所以这部分引掉。
index = np.fromfunction(lambda i, j: i!=j, (self.n ,self.n))
remain = self.A[index] == 0.
if not np.all(remain):
raise TypeError("matrix A is not diagonal...")
"""
diag_A = np.diag(1 / np.diag(self.A))
return diag_A @ b
@property
def low_triangle(self):
"""对下三角矩阵求解"""
assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
index = np.fromfunction(lambda i,j: i < j, (self.n, self.n))
remain = self.A[index] == 0.
if not np.all(remain): #这部分我们直接给出了检查
raise TypeError("matrix A is not low-triangle...")
x = np.zeros(self.n, dtype=float)
for i in range(self.n):
if not i:
x[i] = self.b[i] / self.A[i, i]
else:
residual = self.A[i, :i] @ x[:i]
x[i] = (self.b[i] - residual) / self.A[i, i]
return x
@property
def up_triangle(self):
"""对上三角形矩阵求解"""
assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
index = np.fromfunction(lambda i,j: i > j, (self.n, self.n))
remain = self.A[index] == 0.
if not np.all(remain): #这部分我们直接给出了检查
raise TypeError("matrix A is not up-triangle...")
x = np.zeros(self.n, dtype=float)
for i in range(self.n):
if not i:
x[self.n-1] = self.b[-1] / self.A[-1, -1]
else:
k = self.n - 1 - i
residual = self.A[k, k+1:] @ x[k+1:]
x[k] = (self.b[k] - residual) / self.A[k, k]
return x
@property
def orthogonal(self):
"""正交矩阵"""
assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
"""
我们的确可以给出检查，只需：
if np.sum(np.abs(self.A @ self.A.T - np.diag(np.ones(self.n)))) > 1e-5:
raise TypeError("A is not orthogonal matrix...")
因为会存在浪费计算的问题，这里就引掉吧。
"""
return self.A.T @ self.b
@property
def gauss(self):
"""利用高斯消元法求解"""
assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
def find_max(A, r):
vector = A[r:, r]
max_pos = np.argmax(np.abs(vector)) + r
return max_pos
A = np.array(self.A, dtype=float)
b = np.array(self.b, dtype=float)
for r in range(self.n - 1):
max_pos = find_max(A, r) #寻找最大的点
vector = np.array(A[r]) #替换 这么做的原因是多维ndarray似乎不支持a,b=b,a
A[r] = A[max_pos]
A[max_pos] = vector
b[r], b[max_pos] = b[max_pos], b[r]
N_r = np.diag(np.ones(self.n, dtype=float))
N_r[r:, r] = -np.array(A[r:, r]) / A[r, r]
N_r[r, r] = 1.
A = N_r @ A #更新A
b = N_r @ b #更新b
temp = LinearEqu(A, b)
return temp.up_triangle