Not All Samples Are Created Equal: Deep Learning with Importance Sampling

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Katharopoulos A, Fleuret F. Not All Samples Are Created Equal: Deep Learning with Importance Sampling[J]. arXiv: Learning, 2018.

@article{katharopoulos2018not,
title={Not All Samples Are Created Equal: Deep Learning with Importance Sampling},
author={Katharopoulos, Angelos and Fleuret, F},
journal={arXiv: Learning},
year={2018}}

概

本文提出一种删选合适样本的方法, 这种方法基于收敛速度的一个上界, 而并非完全基于gradient norm的方法, 使得计算比较简单, 容易实现.

主要内容

设((x_i,y_i))为输入输出对, (Psi(cdot; heta))代表网络, (mathcal{L}(cdot, cdot))为损失函数, 目标为

[ ag{1} heta^* = arg min_{ heta} frac{1}{N} sum_{i=1}^Nmathcal{L}(Psi(x_i; heta),y_i), ]

其中(N)是总的样本个数.

假设在第(t)个epoch的时候, 样本(被选中)的概率分布为(p_1^t,ldots,p_N^t), 以及梯度权重为(w_1^t, ldots, w_N^t), 那么(P(I_t=i)=p_i^t)且

[ ag{2} heta_{t+1}= heta_t-eta w_{I_t} abla_{ heta_t} mathcal{L}(Psi(x_{I_t}; heta_t),y_{I_t}), ]

在一般SGD训练中(p_i=1/N,w_i=1).

定义(S)为SGD的收敛速度为:

[ ag{3} S :=-mathbb{E}_{P_t}[| heta_{t+1}- heta^*|_2^2-| heta_t- heta^*|_2^2], ]

如果我们令(w_i=frac{1}{Np_i}) 则

定义(G_i=w_i abla_{ heta_t} mathcal{L}(Psi(x_{i}; heta_t),y_{i}))

我们自然希望(S)能够越大越好, 此时即负项越小越好.

定义(hat{G}_i ge | abla_{ heta_t} mathcal{L}(Psi(x_{i}; heta_t),y_{i})|_2), 既然

(7)式我有点困惑，我觉得(7)式右端和最小化(6)式的负项((mathrm{Tr}(mathbb{V}_{P_t}[G_{I_t}])+|mathbb{E}_{P_t}[G_{I_t}]|_2^2))是等价的.

于是有

最小化右端(通过拉格朗日乘子法)可得(p_i propto hat{G}_i), 所以现在我们只要找到一个(hat{G}_i)即可.

这个部分需要引入神经网络的反向梯度的公式, 之前有讲过，只是论文的符号不同, 这里不多赘诉了.

注意( ho)的计算是比较复杂的, 但是(p_i propto hat{G}_i), 所以我们只需要计算(|cdot|)部分, 设此分布为(g).

另外, 在最开始的时候, 神经网络没有得到很好的训练, 权重大小相差无几, 这个时候是近似正态分布的, 所以作者考虑设计一个指标，来判断是否需要根据样本分布(g)来挑选样本. 作者首先衡量

显然当这部分足够大的时候我们可以采用分布(g)而非正态分布(u), 但是这个指标不易判断, 作者进步除以(mathrm{Tr}(mathbb{V}_u[G_i])).

显然( au)越大越好, 我们自然可以人为设置一个( au_{th}). 算法如下

最后, 个人认为这个算法能减少计算量主要是因为样本少了, 少在一开始用正态分布抽取了一部分, 所以...

"代码"

主要是(hat{G}_i)部分的计算, 因为涉及到中间变量的导数, 所以需要用到retain_grad().

"""
这里只是一个例子
"""

import torch
import torch.nn as nn



class Net(nn.Module):

    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.dense = nn.Sequential(
            nn.Linear(10, 256),
            nn.ReLU(),
            nn.Linear(256, 10),
        )
        self.final = nn.ReLU()

    def forward(self, x):
        z = self.dense(x)
        z.retain_grad()
        out = self.final(z)
        return out, z


if __name__ == "__main__":
    
    net = Net()
    criterion = nn.MSELoss()
    
    x = torch.rand((2, 10))
    y = torch.rand((2, 10))
    
    out, z = net(x)
    loss = criterion(out, y)
    loss.backward()
    print(z.grad) #这便是我们所需要的