一般的积分是指黎曼积分, 其计算是把区域无限细分求和并取极限, 有另外一种积分是把区域无限细分求积并取极限, 这个在生存模型中有很多应用.
生存模型
设生存的时间为随机变量(T), 则生存函数定义为
[S(t):= mathrm{Pr} (T ge t), : t>0,
]
显然(S(0)=0). 生存函数表示, 一个个体生存时间超过(t)的概率.
连续情形
设随机变量(T)所对应的密度函数为(f(t)), 并定义hazard rate为
[alpha (t) := mathop{lim} limits_{h
ightarrow 0} frac{mathrm{Pr}(t le T le t+h|T ge t)}{h},
]
注意到
[frac{mathrm{Pr}(t le T le t+h|T ge t)}{h}= frac{mathrm{Pr}(tle T le t+h)}{h cdot mathrm{Pr}(Tge t)},
]
故
[alpha(t)=f(t)/S(t).
]
又
[f(t) =frac{mathrm{d}F(t)}{mathrm{d}t} = frac{mathrm{d}(1-S(t))}{mathrm{d}t}=-frac{d}{dt}S(t)=:S'(t).
]
所以
[alpha(t)=-frac{S'(t)}{S(t)}=-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} log S(t),
]
故
[S(t)=exp { -int_{0}^t alpha(s) mathrm{d}s}, : t>0.
]
离散情形
此时假设(f(t)=mathrm{Pr}(T=t)),
[alpha(t):=mathrm{Pr}(T=t|Tge t)=f(t)/S(t),
]
可以证明
[S(t)= prod_0^t (1-alpha(s)),
]
注意, 这里的(prod)个人感觉都没法用极限去理解, 只能用无限(即便是不可数)个1相乘仍为1理解.
不妨设(f(t))仅在(0<t_1 < t_2 < cdots)处非零, 则
[S(t)=1, : tle t_1, \
S(t)=1-f(t_1)=1-alpha(t_1), : t_1 < t le t_2, \
]
[S(t)=1-f(t_1)-f(t_2)=1-alpha(t_1)- alpha(t_2)S(t_2)=(1-alpha(t_1)(1-alpha(t_2)), : t_2 < t le t_3 \
cdots
]
统一
记连续情况下
[A(t) = int_0^t alpha(s) mathrm{d}s
]
离散情况下
[A(t) =sum_0^t alpha(s),
]
这里的(sum)请用勒贝格积分理解, 二者在实变函数下统一为
[A(t) = int_0^t frac{1}{S(s)} mathrm{d}S(s).
]
(A(t+h)-A(t))可以理解为个体在([t,t+h])内死亡的概率, 则
[S(t)= lim_{max |t_i - t_{i-1}|
ightarrow 0} prod_0^t (1-(A(t_i)-A(t_{i-1}))=:prod_0^t (1-dA(s))
]
意思就是, 个体想活过(t), 必须前面的每一个阶段都是活着的(严格的推导, 以及极限存在等等不知).
还有在矩阵和马尔可夫上的推广, 一知半解, 就不记录了.