(之前那个格式太丑，重新发一个)
已知:现在有两个正整数(a , b),同时它们都不是彼此的倍数,而且(a>b)
求证: (a和b)的最大公因数等于(b)和 (a) (mod) (b)的最大公因数.
证明: 假设(a与b的最大公因数为d)
设 (a = n * d) , (b = m * d)( (显然n 一定与 m 互质,这个很重要,而且 n与m一定是正整数) )
对于 (a) (mod) (b)进行变形:
变形1: (a) (mod) (b) = ((n * d)) (mod) ((m * d))
变形2: ((n * d)) (mod) ((m * d)) = (d)*( (n) (mod) (m) )
现在原问题就转化为了求证 gcd((n * d), (m * d)) = gcd( (m * d) ,(d)*( (n) (mod) (m) ) );
显然(m * d)和 (d)*( (n) (mod) (m) )的公因数 已经含有一个 (d) ,倘若要使得它们两个的最大公因数也等于(d),那么显然m与n%m要互质
问题进一步转化为:
已知:n 与 m 互质(不考虑n%m等于1的情况,但是此情况实际上也是互质的)
证明: (m) 与 (n) (mod) (m)互质
首先:(n)一定能表示为(k * m + c)的形式((k)是一个自然数,(c)也是一个自然数并且(c<m))
那么(n) (mod) (m)定然会等于 (c)
假如(c与m有一个不为1的公因数,那么很显然对于c 与 m都能被这个数整除),那么 (k*m+c)也一定能被这个数整除
(则就会是这种情况:m与n也会有一个不为1的公因数),这显然与我们事先的声明:"(m)与(n)互质"矛盾.
所以假设不成立,所以(m)与(n) (mod) (m)一定互质.
证毕.
所以 (a)和(b)的最大公因数等于(b)和 (a) (mod) (b)的最大公因数.