深度神经网络（Deep Neural Networks， 以下简称DNN）是深度学习的基础，而要理解DNN，首先我们要理解DNN模型，下面我们就对DNN的模型与前向传播算法做一个总结。
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1 从感知机到神经网络
感知机的模型，它是一个有若干输入和一个输出的模型，如下图:
输出和输入之间学习到一个线性关系，得到中间输出结果：
接着是一个神经元激活函数：
从而得到想要的结果1或者-1.
这个模型只能用于二元分类，且无法学习比较复杂的非线性模型，因此在工业界无法使用。而神经网络则在感知机的模型上做了扩展，总结下主要有三点：
（1）加入了隐藏层，隐藏层可以有多层，增强模型的表达能力，如下图实例，当然增加了这么多隐藏层模型的复杂度也增加了好多。
（2）输出层的神经元也可以不止一个输出（输出层有多个神经元），可以有多个输出，这样模型可以灵活的应用于分类回归，以及其他的机器学习领域比如降维和聚类等。多个神经元输出的输出层对应的一个实例如下图，输出层现在有4个神经元了。
还有后来出现的tanh, softmax,和ReLU等。通过使用不同的激活函数，神经网络的表达能力进一步增强。
2 DNN的基本结构
神经网络是基于感知机的扩展，而DNN可以理解为有很多隐藏层的神经网络。多层神经网络和深度神经网络DNN其实也是指的一个东西，DNN有时也叫做多层感知机（Multi-Layer perceptron,MLP）。
从DNN按不同层的位置划分，DNN内部的神经网络层可以分为三类，输入层，隐藏层和输出层,如下图示例，一般来说第一层是输入层，最后一层是输出层，而中间的层数都是隐藏层。
层与层之间是全连接的，也就是说，第i层的任意一个神经元一定与第i+1层的任意一个神经元相连。虽然DNN看起来很复杂，但是从小的局部模型来说，还是和感知机一样，即一个线性关系：
3 DNN前向传播算法数学原理
所谓的DNN前向传播算法就是利用若干个权重系数矩阵W,偏倚向量b来和输入值向量x进行一系列线性运算和激活运算，从输入层开始，一层层的向后计算，一直到运算到输出层，得到输出结果为值。
5 DNN的反向传播算法
5.1要解决的问题：
可以用一个合适的损失函数来度量训练样本的输出损失，接着对这个损失函数进行优化求最小化的极值，对应的一系列线性系数矩阵W,偏置向量b即为我们的最终结果。在DNN中，损失函数优化极值求解的过程最常见的一般是通过梯度下降法来一步步迭代完成的，也可以是其他的迭代方法比如牛顿法与拟牛顿法。
5.2反向传播算法的基本思路：
在进行DNN反向传播算法前，我们需要选择一个损失函数，来度量训练样本计算出的输出和真实的训练样本输出之间的损失。
DNN可选择的损失函数有不少，为了专注算法，这里使用最常见的均方差来度量损失。即对于每个样本，我们期望最小化下式：
对于输出层的参数，损失函数变为：
求解W,b的梯度：
5.3DNN反向传播算法过程：
由于梯度下降法有批量（Batch），小批量(mini-Batch)，随机三个变种，为了简化描述，这里我们以最基本的批量梯度下降法为例来描述反向传播算法。实际上在业界使用最多的是mini-Batch的梯度下降法。区别仅仅在于迭代时训练样本的选择。
6 均方差损失函数+Sigmoid激活函数的问题
在讲反向传播算法时，我们用均方差损失函数和Sigmoid激活函数做了实例，首先我们就来看看均方差+Sigmoid的组合有什么问题。
首先我们回顾下Sigmoid激活函数的表达式为：
7 交叉熵损失函数+Sigmoid激活函数改进DNN算法收敛速度