luogu 4647 邮局

分析

Part 1 状态

村庄，邮局，嗯没了

dp[i][j]表示前i个村庄j个邮局，至于需不需要当前村庄的状态，待定

再看看题意，发现其实p个邮局像是把村庄分成了p+1个互不影响的区域

Part 2 转移

dp[i][j]的转移，直接由dp[i-1]转移吗？

不行，这样的话你需要考虑是否在i建邮局，而建邮局又是一个区间的问题，如果没有办法记录方案，最好还是不要这样转移

 那么，由j-1转移？我们不用管i是否建邮局，既然p个邮局像是把村庄分成了p+1个互不影响的区域，不如我们就这个区域来考虑

i我们可以不将他考虑为区间的中间部分，而是考虑为结尾

开头？这个好说，枚举就好

于是，原始方程：

dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k+1][i])

cost[k+1][i]表示在[k+1,i]这个区间建一个邮局的最小代价，可以初始化

建在哪里？当然是建在中点最划算，画图看看就好

看朴素的求法：

思考一下，完全可以用前缀和优化到n²嘛

好了，不过转移好像也是n³的，怎么优化呢？

还记得四边形优化吗？

自己看证明：

题解1

题解2

代码

/**********************
User：Mandy.H.Y
Languge:c++
Problem:luogu4647
Algorithm: 
**********************/
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 3005;
const int maxp = 305;

int n,p;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int s[maxn][maxn];
int cost[maxn][maxn];
int sum[maxn];

template<class T>inline void read(T &x){
    x = 0;bool flag = 0;char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) flag |= ch == '-',ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48),ch = getchar();
    if(flag) x = -x;
}

template<class T>void putch(const T x){
    if(x > 9) putch(x / 10);
    putchar(x % 10 | 48);
}

template<class T>void put(const T x){
    if(x < 0) putchar('-'),putch(-x);
    else putch(x);
}

void readdata(){
    read(n);read(p);
    for(int i = 1;i <= n; ++ i) read(a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
}

void work(){
    for(int i = 2;i <= n; ++ i) sum[i] = sum[i-1]+a[i]-a[i-1];
    //这里的前缀和求的是各个村庄的距离的前缀和，与村庄的位置无关
    //所以应该从2开始 
    for(int i = 2;i <= n; ++ i) sum[i] += sum[i-1];
    //这里再求一次前缀和，初始化cost的时候会用 
    
    //cost是指在[l,r]这个区间里有一处邮局的最小距离和
    //当然是建在中点划算啦 
    for(int l = 1;l <= n; ++ l)
        for(int r = l;r <= n; ++ r){
            int mid = (l+r)>>1;
            cost[l][r] = sum[r]-sum[mid]
                       - (sum[mid]-sum[mid-1])*(r-mid-(mid-l))
                       - (sum[mid-1]-sum[l-1]); //%%%
            cost[r][l] = cost[l][r];
        }
    
    memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
    for(int i = 1;i <= n; ++ i)
        dp[i][1] = cost[1][i];
    //这里初始化了dp[i][1],就是前i个村庄建1个消防站 
    for(int j = 2;j <= p; ++ j){
        s[n+1][j] = n;
        //避免越界 
        for(int i = n;i >= 1; -- i){
            for(int k = s[i][j-1]; k<= s[i+1][j]; ++ k){
                if(dp[k][j-1] + cost[k+1][i] < dp[i][j]){
                    dp[i][j] = dp[k][j-1] + cost[k+1][i];
                    s[i][j] = k;
                }
            }  
        }
    }
    put(dp[n][p]);
}

int main(){
    readdata();
    work();
    return 0;
}