机器学习实战读书笔记(五)Logistic回归

Logistic回归的一般过程

1.收集数据：采用任意方法收集

2.准备数据：由于需要进行距离计算，因此要求数据类型为数值型。另外，结构化数据格式则最佳

3.分析数据：采用任意方法对数据进行分析

4.训练算法：大部分时间将用于训练，训练的目的是为了找到最佳的分类回归系数

5.测试算法：一旦训练步骤完成，分类将会很快。

6.使用算法：首 先，我们需要输入一些数据，并将其转换成对应的结构化数值；接着，基于训练好的回归系数就可以对这些数值进行简单回归计算，判定它们属于哪个类别；在这之后，我们就可以在输出的类别上做一些其他分析工作。

5.1 基于Logistic回归和Sigmoid函数的分类

优点：计算代价不高，易于理解和实现

缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高

适用数据类型：数值型和标称型数据

　　我们想要的函数应该是，能接受所有的输入然后预测出类别。例如，在两个类的情况下，上述函数输出0或1，该函数称为海维塞德阶跃函数，或者直接称为单位阶跃函数。这类函数的问题在于：该函数在跳跃点上从０瞬间跳跃到１，这个瞬间跳跃过程有时很难处理。幸好，另一个函数有类似的性质，且数学上更易处理，这就是Sigmoid函数。

　　

　　当x为0时，函数值为0.5。随着x的增大，对应的函数值将逼近于1；而随着x的减小，函数值将逼近于0。如果横坐标刻度足够大，Sigmoid函数看起来很像一个阶跃函数。

　　为了实现Logistic回归分类器，我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数，然后把所有的结果值相加，将这个总和代入Sigmoid函数中，进而得到一个范围在0~1之间的数值。任何大于0.5的数据被分入1类，小于0.5的即被归入0类。

5.2 基于最优化方法的最佳回归系数确定

　　z=w₀x₀+w₁x₁+w₂x₂+....w_nx_n

5.2.1 梯度上升法

5.2.2 训练算法：使用梯度上升找到最佳参数

　　有100个样本点，每个点包含两个数值型特征：X1和X2。在此数据庥上，将通过使用梯度上升法找到最佳回归系数，也就是拟合出Logistic回归模型的最佳参数。

　　伪代码如下：

　　　　每个回归系数初始化为1

　　　　重复R次：

　　　　　　计算整个数据集的梯度

　　　　　　使用alpha*gradient更新回归系数的向量

　　　　　　返回回归系数

from numpy import *

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult
    return weights

5.2.3 分析数据：画出决策边界

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0] 
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()

5.2.4 训练算法：随机梯度上升

　　梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，该方法在处理100个左右的数据集时尚可，但如果有数十亿样本和成千上万的特征，那么该方法的计算复杂度就太高了。一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法。

　　伪代码：

　　所有回归系数初始化为1

　　对数据集中每个样本

　　　　计算该样本的梯度

　　　　使用alpha*gradient更新回归系数值

　　返回回归系数值

def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error = classLabels[i] - h
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights

　　与梯度下降算法的区别：第一，后者的变量h和误差error都是向量，而前者全部是数值；第二，前者没有矩阵的转换过程，所有变量的数据类型都是NumPy数组。

　　验证一下效果：

　　

　　梯度上升分错4个，随机梯度上升分错了1/3。

　　直接这样比较是不公平的，梯度上升有迭代，随机梯度上升没有。一个判断优化算法优劣的可靠方法是看它是否收敛，也就是说参数是否达到了稳定值，是否还会不断变化。把随机梯度改成200次看看。

　　根据迭代次数与回归系数变化情况，修改算法避免来回波动，使最终值收敛。　　

def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for j in range(numIter):
        dataIndex = range(m)
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not 
            randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

　　关于alpha的修改，为4/(1+j+i)+0.01，使得alpha随着迭代次数不断减小，但永远不会减小到0。必须这样做的原因是为了保证在多次迭代之后新数据仍然具有一定的影响。如果要处理的问题是动态变化的，那么可以适当加大上述常数项，来确保新的值获得更大的回归系数。另外，如果j<<max(i)，alpha就不是严格下降的。

　　另外，随机选取样本来更新回归系数。这种方法将减少周期性的波动。

　　看看效果：

　　默认迭代次数150次，效果接近于梯度上升，但计算量更少。

5.3 示例：从疝气病症预测病马的死亡率

　　1.收集数据：给定数据文件

　　2.准备数据：解析文本并填充缺失值

　　3.分析数据：可视化并观察数据

　　4.训练算法：使用优化算法，找到最佳的系数

　　5.测试算法：为了量化回归的效果，需要观察错误率。根据错误率决定是否回退到训练阶段，通过改变迭代的次数和步长等参数来得到更好的回归系数。

　　6.使用算法：

　　注意：数据集中有30%的值是缺失的。

5.3.1 准备数据：处理数据中的缺失值

　　填补缺失值的可选方法：

　　1.使用可用特征的均值

　　2.使用特殊值，如-1

　　3.忽略有缺失值的样本

　　4.使用相似样本的均值

　　5.使用另外的机器学习方法预测

　　Numpy数据类型不允许包含缺失值，选择用0来替换缺失值，这样恰好能适用于Logistic回归，这样做在于，有值时更新回归系数，如果为0（即缺失值），不更新回归系数。

5.3.2 测试算法：用Logistic回归进行分类　　

def classifyVector(inX, weights):
    prob = sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob > 0.5: return 1.0
    else: return 0.0

def colicTest():
    frTrain = open('horseColicTraining.txt'); frTest = open('horseColicTest.txt')
    trainingSet = []; trainingLabels = []
    for line in frTrain.readlines():
        currLine = line.strip().split('	')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 1000)
    errorCount = 0; numTestVec = 0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('	')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
    print "the error rate of this test is: %f" % errorRate
    return errorRate

def multiTest():
    numTests = 10; errorSum=0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print "after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests))