图论学习六之Strongly connected components强连通分量

　　　　　　强连通分量(Strongly connected cmponents)

• 在有向图G中，如果任意两个不同的顶点相互可达，则称该有向
  图是强连通的。有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分支。

• 转置图： 将有向图G中的每一条边反向形成的图称为G的转置G^T。
• 原图G和G^T的强连通分支是一样的。

　　　　　　有向图强连通分支的Tarjan算法

• 做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做
  开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最
  早的节点的开始时间。
• 初始时dfn[i]=low[i]

• 在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值
  就越小。

• DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的
  强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

• 如果发现某节点u有边连到搜索树中栈里的节点v，则更新u的low 值为
dfn[v](更新为low[v]也可以）。

 

　　　　　　有向图强连通分支的Tarjan算法

◦如果一个节点u已经DFS访问结束，而且
  此时其low值等于dfn值，则说明u可达的
  所有节点，都不能到达任何在u之前被
  DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一
  个强连通分量在DFS搜索树中的根。

◦此时将栈中所有节点弹出，包括u,就找
  到了一个强连通分量

 

　　　　　　EXAMPLE

lPOJ2186:Popular Cows

• 给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶点出发都可达的。
• N<=10000, M<=50000 

• 有向无环图中唯一出度为0的点，一定可以由任何点出发均可达
• (由于无环，所以从任何点出发往前走，必然终止于一个出度为0
  的点) 

• 1. 求出所有强连通分量
• 2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有向无环图DAG。
• 3. DAG所有的点可达。那么该点所代表的连通分量上的所有的原图中
      的点，都能被原图中的所有点可达，则该连通分量的点数，就是答案。
• 4. DAG上面如果有不止一个出度为0的点，则这些G上面如果有唯一的
      出度为0的点,则该点能被点互相不可达，原问题无解，答案为0 

• 缩点的时候不一定要构造新图，只要把不同强连通分量的点染不
  同颜色，然后考察各种颜色的点有没有连到别的颜色的边即可(即
  其对应的缩点后的DAG图上的点是否有出边）。

POJ-1236 Network of Schools

• N个学校之间有单向的网络，每个学校得到一套软件后，可以通
  过单向网络向周边的学校传输。
• 问题1：初始至少需要向多少个学校发放软件，使得网络内所有
  的学校最终都能得到软件。
• 问题2：至少需要添加几条传输线路(边)，使任意向一个学校发放
  软件后，经过若干次传送，网络内所有的学校最终都能得到软件。

• 2  <   N  <=  100

• 给定一个有向图，求：
　　• 1) 求一个最小的顶点集，使得从这个顶点集出发，可以到达全部顶点
　　• 2) 至少要加多少条边，才能从任何一个顶点出发，都能到达全部顶点

• N <= 100

 

有用的定理: 

有向无环图中所有入度不为0的点，一定可以由
某个入度为0的点出发可达。

(由于无环，所以从任何入度不为0的点往回走，
必然终止于一个入度为0的点)

解题思路

 1. 求出所有强连通分量
 2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有向无环图DAG。
 3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的答案就是多少

 

 在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通的，问题2
    的答案就是多少

 加边的方法：
 为每个入度为0的点添加入边，为每个出度为0的点添加出边

 假定有 n 个入度为0的点， m个出度为0的点， max(m,n)就是
    第二个问题的解(证明难，略）

 

　　　　　　Korasaju算法求有向图强连通分支

 procedure Strongly_Connected_Components(G);
　　 begin
　　　　 1.深度优先遍历G，算出每个结点u的结束时间f[u],起
　　　　　　点如何选择无所谓。
　　　　 2.深度优先遍历G的转置图G^T， 选择遍历的起点时，
　　　　　　按照结点的结束时间从大到小进行。遍历的过程中，
　　　　　　一边遍历， 一边给结点做分类标记，每找到一个新的
　　　　　　起点，分类标记值就加1。
　　　　 3. 第2步中产生的标记值相同的结点构成深度优先森
　　　　　　 林中的一棵树，也即一个强连通分量
　　　　 end;
　　　　 证明参考：
　　　　　http://www.bioisland.com/Algorithm/ShowArticle.asp?ArticleID=58

(a)为有向图G，其中的阴影部分是G
     的强连通分支，对每个顶点都标出
     了其发现时刻与完成时刻，黑色边
     为深度优先搜索的树枝；

(b)G的转置图G^T 依次以b,c,g,h为起
     点做DFS, 得到4个强连通分量

　　　　　　算法复杂度分析

 深度优先搜索的复杂度:Θ(V + E)
 计算G^T的复杂度:0或者Θ(V + E)(临接表)
 所以总的复杂度为:Θ(V + E)
 非常好的算法!

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