图论学习八之支配集、覆盖集、独立集 与匹配

　　　　　　　　　　匹配

• 设G = <V, E>, 若E*(E*E)中任何两条边均不相邻,
　　• 则称E*为G中边独立集, 也称E*为G中的匹配(Matching);

图(a)中， E*= { e1, e4, e7 }就是一个匹配。所
谓任何两条边均不相邻，通俗地讲，就是任
何两条边都没有公共顶点。

若在E*中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称E*为极大匹
配;
边数最多的匹配称为最大匹配;
最大匹配的边数称为边独立数或匹配数, 记作β₁(G), 简记为β₁。

　　图(a)中, { e2, e6 }, { e3, e5 }, { e1, e4, e7 }都是极大匹配,
{ e1, e4, e7 }是最大匹配, β₁ = 3。
　　图(b)中, { e1, e3 }, { e2, e4 }, { e4, e7 }都是极大匹配, 也
都是最大匹配, β₁ = 2。

　　　　　　　　二部图(二分图)

二部图：如果图G是一个简单图，它的顶点集合V是由两个没
有公共元素的子集X={X1,X2,..,Xm}与子集Y={Y1,Y2,…,Yn}，
并且Xi与Xj(1≤i,j≤m)之间， Ys与Yt(1≤s,t≤m)之间没有边连接，
则G称为二部图。

• 下面介绍一些重要结论，是解决匹配问题的利器
　　• 可以将一些看上去不像匹配的问题转化成匹配问题。

• 能解决90%的二分图匹配问题

• 结论要求记忆

 

　　　　　　　　点支配集、点覆盖集、点独立集
　　　　　　　　　　(都是顶点的集合)

定义 支配与支配集
　　设图G = <V, E>, V*⊆V, 若对于任意vi∈V - V*, 存在vj∈V*,
　　使得: (vi, vj)∈E, 则称vj支配vi, 并称V*为G的一个支
　　配集;

 

图(a)中， V*={ v1, v5 }就是一个支配集。因为
V-V*={v2, v3, v4, v6, v7}中的顶点都是V*中顶
点的邻接顶点。 通俗地讲，所谓支配集，就
是V中的顶点要么是V*集合中的元素，要么
与V*中的一个顶点相邻。

若支配集V*的任何真子集都不是支配集, 则称V*是极小支配集;
顶点数最少的支配集称为最小支配集;
最小支配集中的顶点数称为支配数, 记作γ₀(G)或简记为γ₀。

 　　在图(a)中, { v1, v5 }, { v3, v5 }和{ v2, v4, v7 }都是极小支
配集, { v1, v5 }, { v4, v5 }和{ v3, v6 }都是最小支配集,
γ₀ = 2。
　　图(b)为7阶星形图, { v0 }, { v1, v2, ..., v6 }为极小支配集,
{ v0 }为最小支配集, γ₀ = 1。
　　图(c)为轮图W6, { v0 }, { v1, v3 }, { v1, v4 }等都是极小支
配集, 显然, γ₀＝1。

 

　　　　　　　　支配集的性质

1. 若G中无孤立顶点(度数为0的顶点)，则存在一个支配集V*，
    使得G中除V*外的所有顶点也组成一个支配集(即V - V*也
    是一个支配集)。
2. 若G中无孤立顶点(度数为0的顶点)， V1*为极小支配集，则
    G中除V1*外的所有顶点也组成一个支配集(即V – V1*也是
    一个支配集)。

 

　　　　　　　　定义 点独立集

设图G = <V, E>, V*  V, 若V*中任何两个顶点均不相邻,
则称V*为G的点独立集, 或称独立集;

图(a)中， V*={ v1, v5 }就是一个点独立集，
因为v1和v5是不相邻的。

若在V*中加入任何顶点都不再是独立集, 则称V*为极大点独立集;
顶点数最多的点独立集称为最大点独立集;
最大点独立集的顶点数称为点独立数, 记作β₀(G), 简记为β₀。

 　　图(a)中, { v1, v5 }, { v3, v6 }, { v2, v4, v7 }等都是极大点
独立集, 其{ v2, v4, v7 }等为最大点独立集, β₀ = 3;
　　图(b)中, { v0 }, { v1, v2, …, v6 }都是极大点独立集, 其
{ v1, v2, …, v6 }是最大点独立集, β₀ = 6;
　　图(c)中, { v1, v3 }, { v1, v4 }是极大点独立集, 也都是最
大点独立集, β₀＝2。

　　　　　　　　　　定义 覆盖与点覆盖集

设G = <V, E>, V*V, 若对于e  E, v  V*, 使
得: v与e相关联, 则称v覆盖e, 并称V*为G的点覆
盖集或简称点覆盖;

图(a)中， V*= { v1, v3, v5, v7 }就是一个点覆盖
集。 通俗地讲，所谓点覆盖集V*，就是G中
所有的边至少有一个顶点属于V*(顶点覆盖边)。

若点覆盖V*的任何真子集都不是点覆盖, 则称V*是极小点覆盖;
顶点个数最少的点覆盖称为最小的点覆盖;
最小点覆盖的顶点数称为点覆盖数, 记作α₀(G), 简记为α₀。

　　图(a)中, { v2, v3, v4, v6, v7 }, { v1, v3, v5, v7 }等都是极小
点覆盖, { v1, v3, v5, v7 }是最小点覆盖, α₀ = 4;
　　图(b)中, { v0 }, { v1, v2, …, v6 }都是极小点覆盖, { v0 }
是最小点覆盖, α₀ = 1;
　　图(c)中, { v0, v1, v3, v4 }, { v0, v1, v3, v5 }都是极小点覆
盖, 也都是最小的点覆盖, α₀ = 4。

 

 

　　　　　　　　点支配集、点独立集、点覆盖集之间的联系

1) 定理： 设G = <V, E>中无孤立点，则G的极大点独立集都
　是G的极小支配集。逆命题不成立(即极小支配集未必是
   极大独立集)。
2) 一个独立集是极大独立集，当且仅当它是一个支配集。
3) 定理： 设G = <V, E>中无孤立点, V*(V*⊂V)为G的点覆盖,
    当且仅当V-V*为G的点独立集。
　　 推论：设G是n阶无孤立点的图，则V*是G的极小(最小)
　　   点覆盖，当且仅当V-V*是G的极大(最大)点独立集，从
　　   而有α₀ + β₀ = n(顶点个数)。

 

　　　　　　　　　　定理

一。设G = <V, E>中无孤立点, 则G的极大点独立集都是G的极小支配集。

　　

上面定理的逆命题是不成立的。在右图中,
{ v3, v5 }是极小支配集, 但它不是独立集, 更不
是极大独立集。

二。设G = <V, E>中无孤立点, V*(V*V)为G的点覆盖,
当且仅当V-V*为G的点独立集。

推论  设G是n阶无孤立点的图, 则V*是G的极小(最小)点覆盖,

　　 当且仅当V-V*是G的极大(最大)点独立集, 从而有α₀ + β₀ = n(顶点个数)。

　　　　　　　　边覆盖集与匹配
　　　　　　　　　　　　(都是边的集合)

定义   覆盖与边覆盖集
　　   设图G = <V, E>, E*⊆E, 若任意v∈V, 存在e∈E*, 使得: v与e
　　   相关联, 则称e覆盖v, 并称E*为边覆盖集, 或简称边覆盖;

图(a)中， E*= { e1, e4, e7 }就是一个边覆盖集。
通俗地讲，所谓边覆盖集E*，就是G中所有
的顶点都是E*中边的顶点(边覆盖顶点) 。

若边覆盖E*的任何真子集都不是边覆盖, 则称E*是极小边覆盖;
边数最少的边覆盖集称为最小的边覆盖;
最小的边覆盖所含的边数称为边覆盖数, 记作α₁(G)或简记为α₁。

 　　图(a)中, { e1, e4, e7 }和{ e2, e5, e6, e7 }都是极小边覆盖,
{ e1, e4, e7 }是最小边覆盖, α₁ = 3。
　　图(b)中, { e1, e3, e6 }和{ e2, e4, e8 }都是极小边覆盖, 也
都是最小边覆盖, α₁ = 3。

 

定义   匹配

设G = <V, E>, 若E*(E*⊆E)中任何两条边均不相邻,
则称E*为G中边独立集, 也称E*为G中的匹配(Matching);

 

图(a)中， E*= { e1, e4, e7 }就是一个匹配。所
谓任何两条边均不相邻，通俗地讲，就是任
何两条边都没有公共顶点。

若在E*中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称E*为极大匹配;
边数最多的匹配称为最大匹配;
最大匹配的边数称为边独立数或匹配数, 记作β1(G), 简记为β1。

　　图(a)中, { e2, e6 }, { e3, e5 }, { e1, e4, e7 }都是极大匹配,
{ e1, e4, e7 }是最大匹配, β1 = 3。
　　图(b)中, { e1, e3 }, { e2, e4 }, { e4, e7 }都是极大匹配, 也
都是最大匹配, β1 = 2。

　　　　　　　　　　结论汇总

• 在一般的无向图G中：

　　1. 点支配集, 极小点支配集, 最小点支配集, 点支配数γ0(G);

　　2. 点独立集, 极大点独立集, 最大点独立集, 点独立数β0(G);

　　3. 点覆盖集, 极小点覆盖集, 最小点覆盖集, 点覆盖数α0(G);

　　4. 边覆盖集, 极小边覆盖集, 最小边覆盖集, 边覆盖数α1(G);

　　5. 边独立集(匹配), 极大边独立集(极大匹配), 最大边独立集(最大
　　　 匹配), 边独立数(或匹配数)β1(G);
　　 以上几个量存在以下关系：

　　　　α0＋ β0 ＝ n，即：点覆盖数 + 点独立数 = n

　　　　α1＋ β1 ＝ n，即：边覆盖数 + 边独立数 = n

　　　　　　　　对二部图而言，有以下关系式：

• 二部图的最小点覆盖数α0＝等于最大匹配数β1。
　　• ZOJ 1364
• 二部图的最大点独立数β0＝顶点个数n－最大匹配数β1。 (前提是该
二部图没有孤立顶点，如果有孤立顶点，对这些孤立顶点要单独考虑)
　　• ZOJ 1137

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