【bzoj1937】 Shoi2004—Mst 最小生成树

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1937 (题目链接)

题意

　　一个无向图，给出一个生成树，可以修改每条边的权值，问最小修改多少权值使得给出的生成树是最小生成树。

Solution

　　好神！！！！！

　　首先，由贪心可知，生成树上的边我们肯定是减小它的权值，非树边我们肯定是增大它的权值。假设树边$i$的权值$w_i$，修改后的权值$w_i-d_i$；非树边$j$的权值$w_j$，修改后的权值$w_j+d_j$。如果$j$有可能代替$i$，那么它们必须满足式子$w_i-d_i<=w_j+d_j$，移下项$w_i-w_j<=d_i+d_j$，是不是很像KM里面的顶标，所以我们把边当做点，边权为两个有制约关系的边的权值差，跑KM求最大权完美匹配就可以了。

　　纠结了好久，蛋疼死了。我们的确是要求最小的$sum d_i$，但是$w_i-w_j<=d_i+d_j$的意义是要求对所有的$i,j$都得满足。我们需要在满足条件的情况下不断缩小$sum d_i$，所以完美匹配以后我们可以使$sum d_i$最小。

细节

　　边权非负。可能不会完美匹配，需要加点加边。

代码

// bzoj1937
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define inf (1ll<<30)
#define MOD 1000000007
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=1010;
int head[maxn],deep[maxn],vis[maxn],fa[maxn],id[maxn][maxn],n,m,cnt;
int slack[maxn],vx[maxn],vy[maxn],lx[maxn],ly[maxn],p[maxn],mp[maxn][maxn];
struct data {int u,v,w;}a[maxn];
struct edge {int to,next;}e[maxn<<1];

void link(int u,int v) {
	e[++cnt]=(edge){v,head[u]};head[u]=cnt;
	e[++cnt]=(edge){u,head[v]};head[v]=cnt;
}
void dfs(int x) {
	for (int i=head[x];i;i=e[i].next) if (e[i].to!=fa[x]) {
			deep[e[i].to]=deep[x]+1;
			fa[e[i].to]=x;
			dfs(e[i].to);
		}
}
bool match(int x) {
	vx[x]=cnt;
	for (int y=1;y<=m;y++) if (vy[y]!=cnt) {
			int t=lx[x]+ly[y]-mp[x][y];
			if (!t) {
				vy[y]=cnt;
				if (!p[y] || match(p[y])) {p[y]=x;return 1;}
			}
			else slack[y]=min(slack[y],t);
		}
	return 0;
}
int KM() {
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		lx[i]=-inf;
		for (int j=1;j<=m;j++) lx[i]=max(lx[i],mp[i][j]);
	}
	cnt=0;
	for (int x=1;x<=m;x++) {
		for (int i=1;i<=m;i++) slack[i]=inf;
		while (1) {
			int d=inf;cnt++;
			if (match(x)) break;
			for (int i=1;i<=m;i++) if (vy[i]!=cnt) d=min(d,slack[i]);
			for (int i=1;i<=m;i++) {
				if (vx[i]==cnt) lx[i]-=d;
				if (vy[i]==cnt) ly[i]+=d;
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=m;i++) ans+=mp[p[i]][i];
	return ans;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
		id[a[i].u][a[i].v]=id[a[i].v][a[i].u]=i;
	}
	for (int u,v,i=1;i<n;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		link(u,v);vis[id[u][v]]=1;
	}
	dfs(1);memset(head,0,sizeof(head));cnt=0;
	for (int i=1;i<=m;i++) if (!vis[i]) {
			int x=a[i].u,y=a[i].v,w=a[i].w;
			if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
			int t=deep[x]-deep[y];
			while (t--) mp[id[x][fa[x]]][i]=max(0,a[id[x][fa[x]]].w-w),x=fa[x];
			while (x!=y) {
				mp[id[x][fa[x]]][i]=max(0,a[id[x][fa[x]]].w-w);
				mp[id[y][fa[y]]][i]=max(0,a[id[y][fa[y]]].w-w);
				x=fa[x],y=fa[y];
			}
		}
	printf("%d",KM());
	return 0;
}