题目
GeoGebra作图
证明
看辅助线有点复杂，首先看点是怎么产生的
注：这是一种思路，做题时部分点产生的顺序可以交换
- 题目定义的点有(A、B、C、K、T)
- 三个圆心：(S)（题中内切圆）、 (I_A) （旁心）、(O)（外心），忽略图中的内心(I)
- M、N是弧BC的平分点
- TN交圆S于K''
- 可以知道K是 (odot I_A) 在 BC上的切点
然后将图中所画的线段连接起来
(odot O) 和 (odot S) 关于T点位似，N和(K'')是对应点，所以(K'')是优弧KC的平分点；O和S是对应点， O、S、T三点共线；
(odot I_A) 和 (odot S) 关于A点位似，于是K、K''为对应点，A、K、K''三点共线；
这样就有了三条垂直于BC的线段： (I_AK 、 NM 、 SK'') ，三者相互平行；
证明 AK''ST 四点共圆：(angle K''TA=angle NTA=angle NMA=K''SA)
然后 (SK''=odot S半径=ST) ，等弦（等弧）对等角， AM 平分 (angle KAT)
又 AM 是 (angle BAC) 角平分线，所以 (angle BAK=angle TAC)
加上 (angle ABK=angle ATC) 即证 ( riangle ABKsim riangle ATC)
--------------------分割线------------------------
有了这些就可以证明 TK'' 和 AS 的交点 I 为 ( riangle ABC) 的内心 ：
( riangle ATIsim riangle AI_AKRightarrow AIcdot AI_A=AKcdot AT=ABcdot AC)
最后一个等号来自上题相似。