题目
GeoGebra作图
证明
看辅助线有点复杂,首先看点是怎么产生的
注:这是一种思路,做题时部分点产生的顺序可以交换
- 题目定义的点有(A、B、C、K、T)
- 三个圆心:(S)(题中内切圆)、 (I_A) (旁心)、(O)(外心),忽略图中的内心(I)
- M、N是弧BC的平分点
- TN交圆S于K''
- 可以知道K是 (odot I_A) 在 BC上的切点
然后将图中所画的线段连接起来
(odot O) 和 (odot S) 关于T点位似,N和(K'')是对应点,所以(K'')是优弧KC的平分点;O和S是对应点, O、S、T三点共线;
(odot I_A) 和 (odot S) 关于A点位似,于是K、K''为对应点,A、K、K''三点共线;
这样就有了三条垂直于BC的线段: (I_AK 、 NM 、 SK'') ,三者相互平行;
证明 AK''ST 四点共圆:(angle K''TA=angle NTA=angle NMA=K''SA)
然后 (SK''=odot S半径=ST) ,等弦(等弧)对等角, AM 平分 (angle KAT)
又 AM 是 (angle BAC) 角平分线,所以 (angle BAK=angle TAC)
加上 (angle ABK=angle ATC) 即证 ( riangle ABKsim riangle ATC)
--------------------分割线------------------------
有了这些就可以证明 TK'' 和 AS 的交点 I 为 ( riangle ABC) 的内心 :
( riangle ATIsim riangle AI_AKRightarrow AIcdot AI_A=AKcdot AT=ABcdot AC)
最后一个等号来自上题相似。