第3章 简单的优化模型
3.1 存贮模型
不允许缺货的存贮模型
日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元
生产能力远大于需求，不允许缺货
安排多少天生产一次？每次产量多少？使得平均每天总费用最小
问题分析
建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系
模型假设
考虑连续模型，设生产周期为(T)，产量为(Q)均为连续量
1.产品每天的需求量为常数r
2.每次生产准备费为(c_1)，每天没件产品贮存费为(c_2)
3.生产能力为无限大(相对于需求量)，当贮存量降到0时，Q件产品立即生产出来供应需求，即不允许断货
模型建立
[Q=rT
]
[ar{C}=c_1+c_2frac{QT}{2}=c_1+c_2frac{rT^2}{2}
]
[C(T)=ar{C}/T=c_1/T+c_2rfrac{T}{2}
]
上式即目标函数
模型求解
求(T)使得（3）最小
[T=sqrt{frac{2c_1}{c_2r}}
]
代入（1）得到
[Q=sqrt{frac{2c_1r}{c_2}}
]
所以（3）式最小费用
[C=sqrt{2c_1c_2r}
]
(4)(5)式为经济学中的经济订货批量公式（EOQ公式）
结果解释
(c_1)增加，生产周期和产量都变大
(c_2)增加，生产周期和产量都变小
(r)增加，生产周期变小而产量变大
敏感性分析
讨论参数(c_1,c_2,r有微小变化时对生产周期)T(的影响)
[S(T,c_1)=frac{1}{2},S(T,c_2)=-frac{1}{2},S(T,r)=-frac{1}{2}
]
允许缺货的存贮模型
模型假设
不允许缺货模型的假设1，2不变，假设3修改为：
3a.生产能力为无限大(相对于需求量)，允许缺货，每天每件产品缺货损失费为(c_3)，但缺货数量需在下次生产(或订单)时补足.
模型建立
因存贮量不足造成缺货时，可认为贮存量函数(q(t))为负值，周期仍记作(T),(Q)是每周期初的贮存量，当(t=T_1)时(q(t)=0)，于是
[Q=rT_1
]
一个周期的总费用为
[ar{C}=c_1+frac{1}{2}c_2QT_1+frac{1}{2}c_3r(T-T_1)^2
]
利用(Q=rT_1)消去(T_1),将模型的目标函数——每天的平均费用——记作(T)和(Q)的二元函数
[C(T,Q)=frac{c_1}{T}+frac{c_2Q^2}{2rT}+frac{c_3(rT-Q)^2}{2rT}
]
模型求解
二元函数求极值
>> syms c1 c2 c3 r Q T postive;
>> C(T,Q)=c1/T+c2*Q^2/(2*r*T)+c3*(r*T-Q)^2/(2*r*T);
>> [a b]=solve(diff(C,T),diff(C,Q),[T,Q])
[T'=sqrt{frac{2c_1}{c_2r}frac{c_2+c_3}{c_3}},Q'=sqrt{frac{2c_1r}{c_2}frac{c_3}{c_2+c_3}},R=rT'=sqrt{frac{2c_1r}{c_2}frac{c_2+c_3}{c_3}}
]
若计(lambda =sqrt{frac{c_2+c_3}{c_3}})，那么
[T'=lambda T,Q'=frac{Q}{lambda},R=lambda Q
]
结果解释
(c_3)越小，(lambda)越大，(T')越大，(Q')越小，(R)越大