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  • 《数学模型》 第3章 简单的优化模型

    第3章 简单的优化模型

    3.1 存贮模型

    不允许缺货的存贮模型

    日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1元
    生产能力远大于需求,不允许缺货
    安排多少天生产一次?每次产量多少?使得平均每天总费用最小

    问题分析

    建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系

    模型假设

    考虑连续模型,设生产周期为(T),产量为(Q)均为连续量
    1.产品每天的需求量为常数r
    2.每次生产准备费为(c_1),每天没件产品贮存费为(c_2)
    3.生产能力为无限大(相对于需求量),当贮存量降到0时,Q件产品立即生产出来供应需求,即不允许断货

    模型建立

    [Q=rT ]

    [ar{C}=c_1+c_2frac{QT}{2}=c_1+c_2frac{rT^2}{2} ]

    [C(T)=ar{C}/T=c_1/T+c_2rfrac{T}{2} ]

    上式即目标函数

    模型求解

    (T)使得(3)最小

    [T=sqrt{frac{2c_1}{c_2r}} ]

    代入(1)得到

    [Q=sqrt{frac{2c_1r}{c_2}} ]

    所以(3)式最小费用

    [C=sqrt{2c_1c_2r} ]

    (4)(5)式为经济学中的经济订货批量公式(EOQ公式)

    结果解释

    (c_1)增加,生产周期和产量都变大
    (c_2)增加,生产周期和产量都变小
    (r)增加,生产周期变小而产量变大

    敏感性分析

    讨论参数(c_1,c_2,r有微小变化时对生产周期)T(的影响)

    [S(T,c_1)=frac{1}{2},S(T,c_2)=-frac{1}{2},S(T,r)=-frac{1}{2} ]

    允许缺货的存贮模型

    模型假设

    不允许缺货模型的假设1,2不变,假设3修改为:
    3a.生产能力为无限大(相对于需求量),允许缺货,每天每件产品缺货损失费为(c_3),但缺货数量需在下次生产(或订单)时补足.

    模型建立

    因存贮量不足造成缺货时,可认为贮存量函数(q(t))为负值,周期仍记作(T),(Q)是每周期初的贮存量,当(t=T_1)(q(t)=0),于是

    [Q=rT_1 ]

    一个周期的总费用为

    [ar{C}=c_1+frac{1}{2}c_2QT_1+frac{1}{2}c_3r(T-T_1)^2 ]

    利用(Q=rT_1)消去(T_1),将模型的目标函数——每天的平均费用——记作(T)(Q)的二元函数

    [C(T,Q)=frac{c_1}{T}+frac{c_2Q^2}{2rT}+frac{c_3(rT-Q)^2}{2rT} ]

    模型求解

    二元函数求极值

    >> syms c1 c2 c3 r Q T postive;
    >> C(T,Q)=c1/T+c2*Q^2/(2*r*T)+c3*(r*T-Q)^2/(2*r*T);
    >> [a b]=solve(diff(C,T),diff(C,Q),[T,Q])
    

    [T'=sqrt{frac{2c_1}{c_2r}frac{c_2+c_3}{c_3}},Q'=sqrt{frac{2c_1r}{c_2}frac{c_3}{c_2+c_3}},R=rT'=sqrt{frac{2c_1r}{c_2}frac{c_2+c_3}{c_3}} ]

    若计(lambda =sqrt{frac{c_2+c_3}{c_3}}),那么

    [T'=lambda T,Q'=frac{Q}{lambda},R=lambda Q ]

    结果解释

    (c_3)越小,(lambda)越大,(T')越大,(Q')越小,(R)越大

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