第5章 微分方程模型
5.1 人口增长
指数增长模型
离散公式
[x_k=x_0(1+r)^k
]
Malthus 人口模型
[frac{ ext{d}x}{ ext{d}t}=rx,x(0)=x_0Rightarrow x(t)=x_0e^{rt}
]
参数估计：最小二乘或者数值微分
改进的指数增长模型：将(r)时为随时间改变的线性函数
[frac{ ext{d}x}{ ext{d}t}=(r_0-r_1t)x,x(0)=x_0Rightarrow x(t)=x_0e^{r_0-r_1t^2/2}
]
Logistic模型
[frac{ ext{d}x}{ ext{d}t}=rxleft(1-frac{x}{x_m}
ight),x(0)=x_0Rightarrow x(t)=frac{x_m}{1+left(frac{x_m}{x_0}-1
ight)e^{-rt}}
]