每日一题_190907

记数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n), 已知 (2S_n-a_n+1=n(a_n+1),) 且 (a_2=5.) 若 (m>dfrac{S_n}{2^n},) 则实数 (m) 的取值范围为(underline{qquadqquad}).

解析: 由题 $$ egin{cases}
& 2S_n-a_n+1=n(a_n+1) ,
& 2S_{n+1}-a_{n+1}+1=(n+1)(a_{n+1}+1),
end{cases} $$
两式作差并整理可得
$$na_{n+1}-(n+1)a_n+1=0. $$
两边同除以 (n(n+1)), 可得
$$
dfrac{a_{n+1}}{n+1}-dfrac{1}{n+1}=dfrac{a_n}{n}-dfrac{1}{n}.
$$
从而
$$
dfrac{a_n}{n}-dfrac 1n=cdots=dfrac{a_2}{2}-dfrac 12=2.
$$
于是 (a_n=2n+1,ninmathbb{N}^ast), 从而
$$
S_n=n^{2+2n,ninmathbb{N}}ast.
$$
接下来通过研究数列 (left{ dfrac{S_n}{2^n} ight}) 的单调性求出其最大值. 由于
$$
dfrac{S_{n+1}}{2^{{n+1}}-dfrac{S_n}{2}n}=dfrac{3-n^2}{2{n+1}}, ninmathbb{N}^ast.
$$
所以数列 (left{ dfrac{S_n}{2^n} ight}) 在 (n=2) 时取得最大值 (2), 从而所求 (m) 的取值范围为 ((2,+infty)).