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  • 每日一题_190910

    已知椭圆 (E:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) 半焦距为 (c), 原点到经过 ((c,0),(0,b)) 的直线距离为 (dfrac12 c).
    ((1)) 求椭圆 (E) 的离心率;
    ((2)) 如图 (AB) 是圆 (M: (x+2)^2+(y-1)^2=dfrac{5}{2}) 的一条直径, 若椭圆 (E)(A,B) 两点, 求 (E) 的方程.
    解析:
    ((1)) 若记 (P(c,0), Q(0,b)), 则 ( riangle OPQ) 为直角三角形且
    $$
    PQ=sqrt{OP2+OQ2}=a^2.
    $$从而 (O) 到直线 (PQ) 的距离也即该直角三角形斜边上的高为 $$
    dfrac 12c=dfrac{ bc}{a}.
    $$
    解得所求椭圆的离心率为 (dfrac{sqrt 3}{2}).
    ((2)) 由椭圆的垂径定理可知
    $$
    k_{AB}cdot k_{OM}=-dfrac{b2}{a2}.
    $$ 结合题中已知条件与 ((1)) 中结论可知
    $$
    k_{OM}=-dfrac12, dfrac ba=dfrac 12.
    $$ 因此 (k_{AB}=dfrac 12), 从而可得 (A) 点坐标的一个解
    $$
    egin{cases}
    & x=-2+dfrac{sqrt{10}}{2}cdot dfrac{1}{sqrt{1+k_{AB}^2}}=-2+sqrt 2,
    & y=1+dfrac{sqrt{10}}{2}cdot dfrac{k_{AB}}{sqrt{1+k_{AB}}}=1+dfrac{sqrt 2}{2}.
    end{cases}
    $$ 又 (A) 点位于椭圆 (E) 上, 因此有
    $$
    dfrac{left(-2+sqrt{2} ight)2}{4b2}+dfrac{left( 1+frac{sqrt{2}}{2} ight)2}{b2}=1.
    $$ 解得 (b=sqrt3). 因此所求椭圆方程为
    $$
    dfrac{x2}{12}+dfrac{y2}{3}=1.
    $$

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Math521/p/11494194.html
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