已知函数 (f(x)=dfrac{mathrm{e}^{ax}}{a}+x-2{ln}(x+1)) $( $ (mathrm{e}) 为自然对数的底数, (a) 为常数, 且 (a
eq 0) ())
((1)) 若函数在 (x=1) 处的切线与直线 (mathrm{e}x-y=0) 平行, 求 (a) 的值(;)
((2)) 若 (f(x)) 在 ((0,+infty)) 上存在单调递减区间, 求 (a) 的取值范围.
解析:
((1)) 对 (f(x)) 求导可得
$$
f'(x)=mathrm{e}^{ax}+1-dfrac{2}{x+1},x>-1.
$$ 由题有 (f'(1)=mathrm{e}), 解得 (a=1).
((2)) 显然
$$
forall xgeqslant 1, f'(x)geqslant 0.
$$ 因此 (f(x)) 在区间 ([1,+infty)) 上不可能存在单调递减区间, 所以只需考察区间 ((0,1)). 考虑研究问题的对立面, 即
$$
forall xin(0,1), f'(x)geqslant 0
$$ 注意到 (f'(0)=0), 经由端点分析可知参数 (a) 的讨论分界点为 (-2).
情形一 若 (ageqslant -2), 则有
$$
forall xin(0,1),ageqslant -2=dfrac{ 1}{x}cdot 2cdot dfrac{ frac{1-x}{1+x}-1 }{frac{1-x}{1+x}+1}geqslant dfrac{1}{x}cdot {ln} dfrac{1-x}{1+x}.
$$也即
$$
forall xin(0,1), f'(x)=mathrm{e}^{ax}+1-dfrac{2}{x+1}geqslant 0.
$$所以该种情形下, 函数 (f(x)) 在 ((0,1)) 不存在单调递减区间.
情形二 若 (a<-2), 记 (g(x)=f'(x)), 对 (g(x)) 求导可得
$$
g'(x)=amathrm{e}{ax}+dfrac{2}{(x+1)2},xin(0,1).
$$
由于 (g'(0)=a+2<0), 因此
$$
exists x_0>0, forall xin(0,x_0), g'(x)<0, g(x)<g(0)=0.
$$ 也即该种情形下 (f(x)) 存在单调递减区间 ((0,x_0)).
综上, 所求 (a) 的取值范围为 ((-infty,-2)).