每日一题_190914

在 ( riangle ABC) 中, (sin dfrac{angle ABC}{2}=dfrac{sqrt{3}}{3}), 点 (D) 在线段 (AC) 上, 且 (AD=2DC), (BD=dfrac{4sqrt3}{3}), 则 ( riangle ABC) 的面积的最大值为(underline{qquadqquad}).
解析:
法一 根据题意有
$$ cosangle ABC=1-2sin^2dfrac{angle ABC}{2}=dfrac 13.$$
因此 (angle ABC) 是一个大小确定的锐角, 并且 ( anangle ABC = 2sqrt 2). 如图, 建立平面直角坐标系.

设 ( heta=angle DBC, C(x,0)). 则 (D) 点坐标为$$
egin{cases}
& x_D=BDcdot cos heta=dfrac{4sqrt{3}}{3}cos heta,
& y_D=BDcdot sin heta=dfrac{4sqrt{3}}{3}sin heta.
end{cases}$$ 又 (D) 点是线段 (AC) 上靠近 (C) 点的三等分点, 从而 (A) 点坐标易求得$$
left( x_A,y_A ight)=left( 4sqrt{3}cos heta-2x,4sqrt{3}sin heta ight).$$
结合 (k_{AB}= anangle ABC=2sqrt{2}) 可得 (x, heta) 的关系式如下$$
dfrac{4sqrt{3}sin heta}{4sqrt{3}cos heta-2x}=2sqrt{2}.$$
即有 (x=2sqrt{3}cos heta-dfrac{sqrt{6}}{2}sin heta). 从而 ( riangle ABC) 的面积$$
egin{split}
S_{ riangle ABC}&=3S_{ riangle DBC}=3cdot dfrac 12cdot BDsin hetacdot BC
&=3cdot dfrac 12cdot dfrac{4sqrt{3}}{3} sin hetacdot left( 2sqrt{3}cos heta-dfrac{sqrt{6}}{2}sin heta ight)
&=6cdot left( sin 2 heta+dfrac{sqrt{2}}{4}cos 2 heta-dfrac{sqrt{2}}{4} ight)
&leqslant 3sqrt{2}.
end{split}$$
当且仅当 ( an 2 heta=2sqrt{2}), 也即 ( an heta =dfrac{sqrt{ 2}}{2}) 时, 上述不等式取等, 因此所求三角形面积最大值为 (3sqrt 2).
法二 如图, 作辅助线 (CE), 使得 (CEparallel AB), 延长 (BD) 交 (CE) 于点 (E),

则 ( riangle ABDsim riangle CED), 且相似比为 (2:1), 于是
$$
BE=BD+DE=BD+dfrac12 BD=2sqrt{3}.
$$并且$$
angle BCE=angle BCD+angle ECD=angle BCA+angle BAC=pi-angle ABC.$$ 故 ( riangle BCE) 中存在定弦定角模型, 作 (CHperp BE), 垂足为 (H), 显然当 (H) 为 (BE) 中点时 (CH) 取得最大值. 即
$$
egin{split}
S_{ riangle ABC}&=3S_{ riangle DBC}=2S_{ riangle EBC}
&=2cdot dfrac 12cdot CHcdot BE
&leqslant left( dfrac 12BE cdot an dfrac{angle ABC}{2} ight)cdot BE
&=3sqrt 2.
end{split} $$ 因此所求三角形面积最大值为 (3sqrt{2}).
法三 由题$$
cosangle ABC=1-2sin^2dfrac{angle ABC}{2}=dfrac 13.$$
设 ((a,c)=(BC,BA)), 又显然 (overrightarrow{BD}=dfrac23overrightarrow{BC}+dfrac13overrightarrow{BA}), 两边平方可得$$
dfrac{16}{3}=dfrac{4}{9}a^2+dfrac19c2+dfrac{4}{27}acgeqslant dfrac{16}{27}ac.$$
因此 (acleqslant 9), 进而$$
S_{ riangle ABC}=dfrac 12 acsinangle ABCleqslant dfrac 12cdot 9cdot sqrt{ 1-left( dfrac 13 ight)^2}=3sqrt2.$$
当且仅当 $left( a,c ight)=left( dfrac{3sqrt2}{2},3sqrt{2} ight) $时, 上述不等时取等, 因此所求三角形面积最大值为 (3sqrt2).