已知关于 (x) 的方程 (x^2ln x=aln a-aln x) 有 (3) 个不同的实根，求 (a) 的取值范围．
解析: 原题即关于 (x) 的方程 (ln x-dfrac {aln a}{x^2+a}=0) 有三个不同的实根．记
$$ f(x)=ln x-dfrac {aln a}{x^2+a},x>0,a>0.$$
对 (f(x)) 求导可得$$
f'(x)=dfrac 1x+dfrac {2a{ln a} x}{(x2+a)2}=dfrac {x^4+2a(1+ln a)x2+a2}{x(x2+a)2}.$$
若要 (f(x)) 有三个不同的零点，则 (f'(x)) 至少有两个变号零点，即方程 $$
x^4+2a(1+ln a)x2+a2=0$$
至少有两个正根，所以
$$
egin{cases}
& Delta=4a^2(1+ln a)2-4a2>0,
& -2a(1+ln a)>0,
end{cases}$$
解得 (0<a<dfrac 1{
m e^2})．此时 (f'(x)) 在 ((0,+infty)) 上有且仅有两个不同的零点, 设为 (m,n), 并且 (m<n). 于是 (f(x)) 在 ((0,m),(n,+infty)) 单调递增, 在 ([m,n]) 单调递减. 注意到 (fleft( sqrt{a}
ight)=0). 并且
$$
f'left( sqrt{a}
ight)=2a^2left( 2+{ln} a
ight)<0.$$
所以 (0<m<sqrt{a}<n), 从而
$$
f(m)>fleft(sqrt{a}
ight)=0>f(n).$$
取 (x_2=n+1>n), 则
$$
forall ain left( 0, dfrac{1}{mathrm{e}^2}
ight) ,f(x_2)>0-dfrac{a{ln}a}{x^2+a}>0.$$
取 (x_1=dfrac{ma}{m+a}<m), 则
$$
forall ainleft( 0,dfrac{ 1}{mathrm{e}^2}
ight), f(x_1)<{ln}a-dfrac{a{ln}a}{0^2+a}=0.$$
综上, 当 (0<a<dfrac{1}{mathrm{e}^2}) 时, 函数 (f(x)) 在三段单调区间上分别有一零点. 且这三个零点分别位于区间
$$
(x_1,m),(m,n),(n,x_2).$$
因此所求 (a) 的取值范围为 (left(0,dfrac{1}{{
m e}^2}
ight))．